Essential infimum and essential supremum

In mathematics, the concepts of essential infimum and essential supremum are related to the notions of infimum and supremum, but adapted to measure theory and functional analysis, where one often deals with statements that are not valid for all elements in a set, but rather almost everywhere, that is, except on a set of measure zero. While the exact definition is not immediately straightforward, intuitively the essential supremum of a function is the smallest value that is greater than or equal to the function values everywhere while ignoring what the function does at a set of points of measure zero. For example, if one takes the function that is equal to zero everywhere except at where then the supremum of the function equals one. However, its essential supremum is zero because we are allowed to ignore what the function does at the single point where is peculiar. The essential infimum is defined in a similar way. As is often the case in measure-theoretic questions, the definition of essential supremum and infimum does not start by asking what a function does at points (that is, the image of ), but rather by asking for the set of points where equals a specific value (that is, the of under ). Let be a real valued function defined on a set The supremum of a function is characterized by the following property: for all and if for some we have for all then More concretely, a real number is called an upper bound for if for all that is, if the set is empty. Let be the set of upper bounds of and define the infimum of the empty set by Then the supremum of is if the set of upper bounds is nonempty, and otherwise. Now assume in addition that is a measure space and, for simplicity, assume that the function is measurable. Similar to the supremum, the essential supremum of a function is characterised by the following property: for -almost all and if for some we have for -almost all then More concretely, a number is called an of if the measurable set is a set of -measure zero, That is, if for -almost all in Let be the set of essential upper bounds.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Concepts associés (4)

Cours associés (6)

Séances de cours associées (61)

Essential infimum and essential supremum

Espace Lp

En mathématiques, un espace L est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant p est intégrable au sens de Lebesgue, où p est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces L de fonctions bornées. Les espaces L sont appelés espaces de Lebesgue. Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace L est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1.

Mesure (mathématiques)

En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.

MATH-101(en): Analysis I (English)

We study the fundamental concepts of analysis, calculus and the integral of real-valued functions of a real variable.

MATH-101(g): Analysis I

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable.

MGT-418: Convex optimization

This course introduces the theory and application of modern convex optimization from an engineering perspective.

Math-101(fr) / Min/Max, Inf/Sup MATH-101(en): Analysis I (English)

Couvre les concepts minimum, maximum, infimum et supremum en nombres réels avec des exemples et des preuves.

Minimum et maximum MOOC: Analyse I

Introduit les concepts de valeurs minimales et maximales pour les fonctions continues.

Fonctions réelles: Définitions et Théorèmes

Explore les fonctions réelles, couvrant la continuité, supreme, infimum, maximum, minimum, ensembles compacts et connectés, et le théorème de valeur intermédiaire.