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Concept
Espace Lp
Résumé
En mathématiques, un espace L est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant p est intégrable au sens de Lebesgue, où p est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces L de fonctions bornées. Les espaces L sont appelés espaces de Lebesgue.
Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace L est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque 0 < p < 1, l'intégrale définit une quasi-norme qui en fait un espace complet. Il existe en outre une dualité entre les espaces d'exposants p et q conjugués, c'est-à-dire tels que + = 1.
Les espaces L généralisent les espaces L des fonctions de carré intégrable, mais aussi les espaces l de suites de puissance p-ième sommable.
Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide de distributions ou en se contentant d'une intégrabilité locale.
Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle en permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairement dérivables ni même continues.
La norme p sur l'espace vectoriel de dimension finie R s'étend aux fonctions continues sur un segment [a, b] par
et plus généralement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré (X, A, μ) et à valeurs réelles ou complexes et de puissance p intégrable par :
Sur un domaine X d'un espace euclidien, la mesure est en général celle de Lebesgue.
Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur le complémentaire d'un ensemble négligeable. L'espace L(X, A, μ) est alors défini comme quotient de l'espace des fonctions mesurables p intégrables, souvent noté : L(X, A, μ), par le sous-espace vectoriel des fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».
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