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Concept
Mesure (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités.
Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.
L'étude des espaces munis de mesures est l'objet de la théorie de la mesure.
Lorsqu'on dispose d'une mesure μ sur un espace mesurable , on dit que le triplet est un espace mesuré ;
Pour S ensemble mesurable (c'est-à-dire pour ), la valeur μ(S) est appelée la mesure de S ;
Lorsque μ(X) est fini, on parle de mesure finie ou mesure bornée ;
Lorsque μ(X) = 1, on parle de mesure de probabilité. Le triplet est alors appelé un espace probabilisé. Voir pour ce cadre l'article axiomes des probabilités.
Lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire, plus formellement, lorsqu'il existe une suite d'éléments de la tribu, tous de mesure finie, avec
on parle de mesure σ-finie. Quitte à remplacer chaque par on peut supposer que la suite de sous-ensembles figurant dans la définition est croissante pour l'inclusion.
Un sous-ensemble S de X est dit négligeable lorsqu'il est inclus dans un T appartenant à la tribu et de mesure nulle.
La mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable appartient à la tribu .
Fonction mesurable.
Les propriétés suivantes s'obtiennent sans mal à partir des axiomes précédents :
Additivité : Si E1 et E2 sont deux ensembles mesurables disjoints, μ(E1 ∪ E2) = μ(E1) + μ(E2).
Monotonie : Si E1 et E2 sont deux ensembles mesurables tels que E1 est un sous-ensemble de E2, alors μ(E1) ≤ μ(E2).
Continuité à gauche : Si E1, E2, E3, ...
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