Base de Gröbner

En mathématiques, une base de Gröbner (ou base standard, ou base de Buchberger) d'un idéal I de l'anneau de polynômes K[X, ..., X] est un ensemble de générateurs de cet idéal, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite dans les années 1960, indépendamment par Heisuke Hironaka et Bruno Buchberger, qui lui a donné le nom de son directeur de thèse Wolfgang Gröbner. Les bases de Gröbner ont le grand avantage de ramener l'étude des idéaux polynomiaux à l'étude des idéaux monomiaux (c'est-à-dire formés de monômes), plus faciles à appréhender. Soit K un corps commutatif. Dans le cas des polynômes à une seule variable, l'anneau des polynômes à une variable K[X] est euclidien, et un idéal I de K[X] se représente naturellement par son générateur principal. Plus précisément, l'algorithme d'Euclide permet de déterminer celui-ci à partir d'une famille finie de générateurs, et ainsi de tester l'appartenance d'un polynôme à I, ou encore de calculer un représentant canonique pour un élément de K[X]/I. L'anneau des polynômes à n variables K[X, ..., X], en revanche, est factoriel et nœthérien mais pas principal. Concrètement, on ne peut pas y étendre « naturellement » la division euclidienne des polynômes à une variable. Les bases de Gröbner permettent néanmoins de calculer modulo un idéal de K[X, ..., X], et notamment : de décider si l'idéal est K[X, ..., X] tout entier (c'est-à-dire d'un point de vue géométrique si sa variété dans une clôture algébrique de K est vide, ou encore si un système polynomial donné y admet au moins une solution) ; de décider si un polynôme appartient à l'idéal, ou à son radical — et ainsi, si une fonction polynomiale est nulle sur une variété ; de trouver des représentants canoniques pour les éléments de l'algèbre quotient, et partant, d'effectuer des calculs algébriques modulo l'idéal ; de déterminer la dimension et le degré d'une variété (ou plus généralement la dimension et la somme des degrés des composantes équidimensionnelles de dimension maximale d'une variété quelconque).