Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Base de Gröbner
Résumé
En mathématiques, une base de Gröbner (ou base standard, ou base de Buchberger) d'un idéal I de l'anneau de polynômes K[X, ..., X] est un ensemble de générateurs de cet idéal, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite dans les années 1960, indépendamment par Heisuke Hironaka et Bruno Buchberger, qui lui a donné le nom de son directeur de thèse Wolfgang Gröbner.
Les bases de Gröbner ont le grand avantage de ramener l'étude des idéaux polynomiaux à l'étude des idéaux monomiaux (c'est-à-dire formés de monômes), plus faciles à appréhender.
Soit K un corps commutatif.
Dans le cas des polynômes à une seule variable, l'anneau des polynômes à une variable K[X] est euclidien, et un idéal I de K[X] se représente naturellement par son générateur principal. Plus précisément, l'algorithme d'Euclide permet de déterminer celui-ci à partir d'une famille finie de générateurs, et ainsi de tester l'appartenance d'un polynôme à I, ou encore de calculer un représentant canonique pour un élément de K[X]/I.
L'anneau des polynômes à n variables K[X, ..., X], en revanche, est factoriel et nœthérien mais pas principal. Concrètement, on ne peut pas y étendre « naturellement » la division euclidienne des polynômes à une variable. Les bases de Gröbner permettent néanmoins de calculer modulo un idéal de K[X, ..., X], et notamment :
de décider si l'idéal est K[X, ..., X] tout entier (c'est-à-dire d'un point de vue géométrique si sa variété dans une clôture algébrique de K est vide, ou encore si un système polynomial donné y admet au moins une solution) ;
de décider si un polynôme appartient à l'idéal, ou à son radical — et ainsi, si une fonction polynomiale est nulle sur une variété ;
de trouver des représentants canoniques pour les éléments de l'algèbre quotient, et partant, d'effectuer des calculs algébriques modulo l'idéal ;
de déterminer la dimension et le degré d'une variété (ou plus généralement la dimension et la somme des degrés des composantes équidimensionnelles de dimension maximale d'une variété quelconque).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.