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Concept
Courbe de Peano
Résumé
En mathématiques, la courbe de Peano est le premier exemple découvert de courbe remplissante, c'est-à-dire une courbe plane paramétrée par une fonction continue sur l'intervalle unité [0, 1] et surjective dans le carré [0, 1]×[0, 1] ; autrement dit, la courbe passe par chaque point du carré : elle « remplit l'espace ».
En particulier, la courbe de Peano est une fractale : bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2.
Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui l'a découverte.
Dans un article de 1890 Giuseppe Peano décrit une courbe auto-intersectante qui passe par tous les points de la surface du carré unité. En construisant une surjection de l'intervalle réel unité vers le carré unité du plan, il illustre un résultat de Georg Cantor qui, en 1877, avait établi que le carré a la puissance du continu, c'est-à-dire le même cardinal que l'intervalle. La nouveauté est que la surjection construite par Peano est continue : on peut l'interpréter comme une courbe paramétrée.
La clé passe par l'élaboration d'une courbe nulle part différentiable. Toutes les courbes rencontrées jusqu'alors étaient différentiables par parties (elles avaient une dérivée continue sur chaque intervalle). En 1872, Karl Weierstrass avait bien décrit une fonction qui était continue en tout point mais différentiable en aucun point. Mais aucune de ces courbes ne pouvait remplir le carré unité. La courbe de Peano, à la fois nulle part différentiable et remplissant le plan, était donc fortement contre-intuitive.
Peano utilise l'existence d'un développement en base trois pour tout nombre réel. Dans l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1,2}, il construit une correspondance entre la suite et le couple de suites de la manière suivante :
selon que la somme des termes de rang pair de la suite : est paire ou impaire (par convention, la somme vide est nulle donc paire, donc )
selon que la somme des termes de rang impair de la suite : est paire ou impaire.
Source officielle
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