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Concept
Dualité de Serre
Résumé
En géométrie algébrique, la dualité de Serre est une dualité pour la cohomologie cohérente de variétés algébriques, démontrée par Jean-Pierre Serre. La version originale s'applique aux fibrés vectoriels sur une variété projective lisse, mais Alexander Grothendieck la généralise largement. Sur une variété de dimension n, le théorème énonce l'isomorphisme d'un groupe de cohomologie avec l'espace dual d'un autre, le . La dualité de Serre est l'analogue pour la cohomologie cohérente de la dualité de Poincaré en topologie.
Le théorème de dualité de Serre est également vrai en géométrie complexe plus généralement, pour les variétés complexes compactes qui ne sont pas nécessairement des variétés algébriques complexes projectives. Dans ce cadre, le théorème de dualité de Serre est une application de la théorie de Hodge pour la cohomologie de Dolbeault, et peut être vu comme un corollaire dans la théorie des opérateurs elliptiques.
Ces deux interprétations différentes de la dualité de Serre coïncident pour les variétés algébriques complexes projectives non singulières, par une application du théorème de Dolbeault reliant la cohomologie des faisceaux à la cohomologie de Dolbeault.
Soit X une variété lisse de dimension n sur un corps k. On définit le fibré en droite canonique des n-formes sur X, donné par :
Supposons en plus que X soit propre (par exemple projectif) sur k. Alors la dualité de Serre s'énonce : soit E un fibré vectoriel algébrique sur X et un entier i, il existe un isomorphisme naturel
de k-espaces vectoriels de dimension finie. Ici désigne le produit tensoriel des fibrés vectoriels. Il s'ensuit que les dimensions des deux groupes de cohomologie sont égales :
Comme dans la dualité de Poincaré, l'isomorphisme dans la dualité de Serre provient du cup-produit en cohomologie de faisceaux. Plus précisément, la composition du cup-produit avec une la trace sur est un couplage parfait :
La trace est l'analogue en cohomologie cohérente de l'intégration en cohomologie de de Rham.
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