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Concept
Espace homogène
Résumé
En géométrie, un espace homogène est un espace sur lequel un groupe agit de façon transitive. Dans l'optique du programme d'Erlangen, le groupe représente des symétries préservant la géométrie de l'espace, et le caractère homogène se manifeste par l'indiscernabilité des points, et exprime une notion disotropie. Les éléments de l'espace forment une seule orbite selon G.
Les espaces des géométries classiques (en dimension finie quelconque) de points sont des espaces homogènes pour leur groupe de symétries. Voici quelques exemples :
Espace euclidien pour le groupe de ses isométries ou le groupe de ses similitudes (géométrie euclidienne) ;
Espace affine (sur un corps quelconque) pour son groupe affine (géométrie affine) ;
Espace projectif (sur un corps quelconque) pour son groupe projectif (géométrie projective) ;
Sphère d'un espace euclidien pour le groupe de ses isométries (géométrie sphérique) ou son groupe conforme ( ou de Möbius) ;
Espace elliptique pour le groupe de ses isométries (géométrie elliptique) ;
pour le groupe de ses isométries (géométrie hyperbolique).
Dans différentes catégories, il y a une notion d'espaces homogènes
Espaces homogènes de groupes abstraits (groupe opérant transitivement sur un ensemble)
Espaces homogènes topologiques de groupes topologiques
Espaces homogènes de Lie de groupes de Lie (ce sont des variétés différentielles (en fait analytiques réelles) ou analytiques complexes)
Espaces homogènes algébriques de groupes algébriques (ce sont des variétés algébriques sur un corps commutatif)
Sur un corps algébriquement clos, un espace homogène algébrique d'un groupe algébrique affine est un espace homogène au sens des groupes abstraits. En général, sur corps commutatif K, si une variété algébrique X sur K est un espace homogène algébrique d'un groupe algébrique affine G sur K, cela n'implique pas, en général, que le groupe abstrait G opère transitivement sur l'ensemble X, mais que, par extension à une clôture algébrique L de K, le groupe abstrait G(L) des points rationnels de G sur L opère transitivement sur l'ensemble X(L) des points rationnels de X sur L.
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