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Concept
Programme d'Erlangen
Résumé
Le programme d'Erlangen est un programme de recherche mathématique publié par le mathématicien allemand Felix Klein en 1872, dans son Étude comparée de différentes recherches récentes en géométrie. L'objectif est de comparer les différentes géométries apparues au cours du pour en dégager les points de similitude : on peut ainsi plus clairement distinguer la géométrie affine, la géométrie projective, la géométrie euclidienne, la géométrie non euclidienne au travers d'une vision globale. La clef de voûte de ce programme est de fonder la géométrie sur les notions d'action de groupe et d'invariant. Ce programme apparut comme une remise en question de la géométrie et influa très fortement sur son développement et son évolution. Encore aujourd'hui sa philosophie influence de nombreux mathématiciens, ainsi que des programmes d'enseignement et de recherche.
La lecture de cet article nécessite une certaine familiarité avec les concepts et le vocabulaire des actions de groupes.
Depuis l'écriture des Éléments d'Euclide (et même avant), la géométrie cherchait à rendre compte de l'espace environnant, à travers la formalisation et l'axiomatisation de la géométrie euclidienne en dimensions 2 ou 3. Le a connu un épanouissement des mathématiques et en particulier de la géométrie. En réponse à la question de l'indépendance des axiomes d'Euclide, et aussi pour des raisons pratiques, de nouvelles géométries furent introduites, à l'instar de la géométrie hyperbolique ou de la géométrie projective. À l'époque, on voyait ces géométries non pas comme une palette d'outils mais plutôt comme des modèles fondamentaux répondant à une collection d'axiomes desquels les résultats géométriques devaient se déduire. Cette vision de la géométrie, dite géométrie synthétique, se place dans une volonté de rigueur mathématique.
En prenant possession de sa chaire à l'université d'Erlangen, Klein, alors âgé de vingt-trois ans, devait selon la tradition proposer un programme de travail. Le sien est une remise en question de cette vision traditionnelle.
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