Déplacement quadratique moyen

vignette|graphique du déplacement quadratique moyen. En mécanique statistique, le déplacement quadratique moyen (DQM, ou MSD, de l'anglais mean square displacement) est une mesure de l'éloignement d'une particule par rapport à une position de référence dans le temps. C'est la mesure la plus courante du mouvement aléatoire et peut être considérée comme une mesure de la partie "explorée" du système par un marcheur aléatoire. Dans le domaine de la biophysique et de l'ingénierie environnementale, le déplacement quadratique moyen est mesuré au fil du temps pour déterminer si une particule se propage lentement en raison de la diffusion, ou si une force d'advection est présente. Il joue un rôle clé dans le facteur Debye-Waller (décrivant les vibrations à l'intérieur de l'état solide) ainsi que dans l'équation de Langevin (décrivant la diffusion d'une particule brownienne). Il existe aussi une formulation légèrement différente consistant à prendre le double de la racine carrée du déplacement quadratique moyen est également utilisé dans l'étude des phénomènes de transport et de mélange dans le domaine de l'ingénierie environnementale. Le déplacement quadratique moyen au temps est défini comme une moyenne d'ensemble : où N est le nombre de particules à moyenner, est la position de référence de la -ième particule, et est la position de la -ième particule au temps t. La fonction de densité de probabilité d'une particule dans un espace à une dimension est trouvée en résolvant l'équation de diffusion unidimensionnelle. Cette équation indique que la densité de probabilité de position se diffuse dans le temps - c'est la méthode utilisée par Einstein pour décrire une particule brownienne. Une autre méthode pour décrire le mouvement d'une particule brownienne a été décrite par Langevin dans l'équation de Langevin : compte tenu de la condition initiale ; où est la position de la particule à un instant donné, est la position initiale de la particule marquée, et est la constante de diffusion, dont les unités SI sont , ce qui constitue une mesure indirecte de la vitesse de la particule.