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Concept
Fonction à valeurs vectorielles
Résumé
En mathématiques, une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l'espace d'arrivée est un ensemble de vecteurs, son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs.
Courbe paramétrée
Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui des courbes paramétrées, c'est-à-dire des fonctions d'une variable réelle (représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique du point) à valeurs dans un espace euclidien, par exemple le plan usuel (on parle alors de courbes planes) ou l'espace usuel (on parle alors de courbes gauches).
Si , en termes des coordonnées cartésiennes (e, ..., e), une courbe paramétrée peut s'écrire sous la forme
où les sont les fonctions coordonnées.
Par exemple, dans l'espace cartésien , en notant i = (1,0,0), j = (0,1,0) et k = (0,0,1) les vecteurs unités usuels, une courbe paramétrée s'écrit sous la forme
où sont les fonctions coordonnées.
Une fonction à valeurs vectorielles est une fonction d'un ensemble X quelconque dans un espace vectoriel E sur un corps K (commutatif).
Quelques cas courants sont :
X est un sous-ensemble de (par exemple un intervalle de ), et . Ce cadre couvre notamment le calcul différentiel en dimension finie (notamment les courbes paramétrées évoquées plus haut) et un nombre important d'outils en physique, comme ceux utilisés en mécanique du point, en mécanique des fluides, en thermodynamique, etc.
X est un espace de probabilité, et . Les fonctions vectorielles de X dans E qui sont mesurables sont appelées des vecteurs aléatoires, généralisant la notion de variable aléatoire.
Considérons dans cette section une fonction vectorielle f d'un intervalle à valeurs dans . On note les fonctions coordonnées associées :
pour tout t ∈ I où les e sont les vecteurs de la base canonique de .
On peut déduire des propriétés de f sur celles des f et réciproquement. Par exemple :
f(t) tend vers un vecteur a = (a, ...
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