Matrice triangulaire

Résumé

vignette|algèbre linéaire En algèbre linéaire, une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d’un côté ou de l’autre de la diagonale principale. C’est en particulier le cas si la matrice est diagonale. Une matrice est triangulaire stricte si elle est triangulaire et que tous ses coefficients diagonaux sont nuls. Remarque préliminaire Dans ce qui suit, on considérera un anneau unitaire R non forcément commutatif, des R-modules à gauche et des R-modules à droite. Le lecteur qui n'est pas familier avec les anneaux non commutatifs et les modules à gauche ou à droite peut supposer que l'anneau R est commutatif et ne pas lire les passages où l'hypothèse contraire est faite. Si l'anneau R est commutatif, les R-modules à gauche et les R-modules à droite coïncident et sont simplement les R-modules. De même, le lecteur qui n'est pas familier avec les modules peut supposer que R est un corps et ne pas lire les passages où l'hypothèse contraire e

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_triangulaire

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Iterative refinement of Schur decompositions

Zvonimir Bujanovic, Daniel Kressner

The Schur decomposition of a square matrix A is an important intermediate step of state-of-the-art numerical algorithms for addressing eigenvalue problems, matrix functions, and matrix equations. This work is concerned with the following task: Compute a (more) accurate Schur decomposition of A from a given approximate Schur decomposition. This task arises, for example, in the context of parameter-dependent eigenvalue problems and mixed precision computations. We have developed a Newton-like algorithm that requires the solution of a triangular matrix equation and an approximate orthogonalization step in every iteration. We prove local quadratic convergence for matrices with mutually distinct eigenvalues and observe fast convergence in practice. In a mixed low-high precision environment, our algorithm essentially reduces to only four high-precision matrix-matrix multiplications per iteration. When refining double to quadruple precision, it often needs only 3-4 iterations, which reduces the time of computing a quadruple precision Schur decomposition by up to a factor of 10-20.

SPRINGER2022

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MATHICSE Technical Report : Incremental computation of block triangular matrix exponentials with application to option pricing

Daniel Kressner, Robert Gerhard Jérôme Luce, Francesco Statti

We study the problem of computing the matrix exponential of a block triangular matrix in a peculiar way: Block column by block column, from left to right. The need for such an evaluation scheme arises naturally in the context of option pricing in polynomial diffusion models. In this setting a discretization process produces a sequence of nested block triangular matrices, and their exponentials are to be computed at each stage, until a dynamically evaluated criterion allows to stop. Our algorithm is based on scaling and squaring. By carefully reusing certain intermediate quantities from one step to the next, we can efficiently compute such a sequence of matrix exponentials.

MATHICSE2017

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