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Concept
Matrice triangulaire
Résumé
vignette|algèbre linéaire
En algèbre linéaire, une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d’un côté ou de l’autre de la diagonale principale. C’est en particulier le cas si la matrice est diagonale. Une matrice est triangulaire stricte si elle est triangulaire et que tous ses coefficients diagonaux sont nuls.
Dans ce qui suit, on considérera un anneau unitaire R non forcément commutatif, des R-modules à gauche et des R-modules à droite. Le lecteur qui n'est pas familier avec les anneaux non commutatifs et les modules à gauche ou à droite peut supposer que l'anneau R est commutatif et ne pas lire les passages où l'hypothèse contraire est faite. Si l'anneau R est commutatif, les R-modules à gauche et les R-modules à droite coïncident et sont simplement les R-modules. De même, le lecteur qui n'est pas familier avec les modules peut supposer que R est un corps et ne pas lire les passages où l'hypothèse contraire est faite. Si R est un corps, les R-modules à gauche (resp. à droite) sont les R-espaces vectoriels à gauche (resp. à droite). Enfin, si le lecteur n'est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite, il peut supposer que R est un corps commutatif et ne pas lire les passages où des hypothèses contraires sont faites. Si R est un corps commutatif, les R-modules à gauche et à droite coïncident avec les R-espaces vectoriels.
Soit R un anneau unitaire. Par définition, une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans R est une matrice carrée à coefficients dans R dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles :
A est triangulaire supérieure si et seulement si :
Soit R un anneau unitaire. Par définition, une matrice triangulaire inférieure à coefficients dans R est une matrice carrée à coefficients dans R dont les valeurs au-dessus de la diagonale principale sont nulles :
A est triangulaire inférieure si et seulement si :
La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure, et vice-versa.
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