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Concept
Groupe de frise
Résumé
Un groupe de frise, en mathématiques, est un sous-groupe du groupe des isométries affines du plan euclidien tel que l'ensemble des translations qu'il contient forme lui-même un groupe isomorphe au groupe Z des entiers relatifs. Une frise est alors une partie du plan telle que l'ensemble des isométries qui la laissent globalement invariante est un groupe de frise. Usuellement, une frise est représentée par un motif se répétant périodiquement dans une direction donnée. Ce concept modélise les frises utilisées en architecture ou en décoration.
Les groupes de frise s'apparentent aux groupes ponctuels de symétrie, utilisés pour les pavages du plan ou en cristallographie. On peut montrer qu'il existe exactement sept groupes de frise, à isomorphisme près.
Si t est un générateur du groupe des translations du groupe de frise considéré, la direction du vecteur de translation constitue une unique direction privilégiée pour la frise, celle dans laquelle le motif de la frise se répète périodiquement. Cette direction doit être conservée dans toute isométrie conservant la frise, de sorte que les seules isométries possibles sont :
les translations parallèlement à cette direction
une unique réflexion d'axe cette direction. S'il existait deux telles symétries, leur composée serait une translation de direction orthogonale à la direction initiale, ce qui est exclu par hypothèse.
les réflexions glissées, composée de la réflexion précédente avec une translation.
les réflexions d'axe orthogonal à la direction de la frise
les rotations planes d'un demi-tour (ou symétries centrales). Les centres de ces rotations sont alignés sur une droite parallèle à la direction de la frise. En effet, la composée de deux telles rotations distinctes est une translation dont la direction est celle d'une droite reliant les centres des deux rotations.
A isomorphisme près, il n'existe que sept groupes de frise. On peut les déterminer en considérant des parties génératrices de ces groupes de cardinal croissant.
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