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Concept
Groupe de papier peint
Résumé
Un groupe de papier peint (ou groupe d'espace bidimensionnel, ou groupe cristallographique du plan) est un groupe mathématique constitué par l'ensemble des symétries d'un motif bidimensionnel périodique. De tels motifs, engendrés par la répétition (translation) à l'infini d'une forme dans deux directions du plan, sont souvent utilisés en architecture et dans les arts décoratifs. Il existe 17 types de groupes de papier peint, qui permettent une classification mathématique de tous les motifs bidimensionnels périodiques.
En termes de complexité, les groupes de papier peint se situent entre les groupes de frise, simples, et les groupes d'espace tridimensionnels.
Ici l’expression « surface répétitive » désigne un découpage possible d’un « papier peint » donné, une surface dont les bords ne sont pas nécessairement des segments de droites, telle que l’union infinie de ces surfaces répétitives disjointes : d’intersection vide, reconstitue le papier peint. L’ensemble infini des surfaces répétitives possibles, répétées indéfiniment par un « papier peint » donné, comprendra un ou des “motifs répétitifs” spécifiques de cet article.
Une façon d’inventer une surface répétitive d’un “papier peint” donné à partir d’une autre surface répétitive consiste à la tronquer quelque part, pour ajouter ailleurs un morceau de même superficie afin de créer une autre surface répétitive du même “papier peint”. Par exemple avec un pavage de Pythagore, à partir de la surface répétitive constituée de l’union de deux carrés adjacents de tailles différentes. Le pavage infini en entier est l’union infinie de ces surfaces hexagonales non régulières, comme dans cet autre exemple de pavage de Pythagore.
Dans l’article un « motif répétitif » sera un parallélogramme répétitif d’aire minimale dans une position déterminée sur le papier peint. Cela s’éclaircira grâce au concept de translation gardant invariant un papier peint donné.
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