Loi inverse

En théorie des probabilités et en statistique, une loi inverse est la loi de probabilités de l'inverse d'une variable aléatoire. Les lois inverses apparaissent en particulier dans le contexte bayésien des lois a priori et des lois a posteriori pour les paramètres d'échelle. Dans l'algèbre des variables aléatoires, les lois inverses sont des cas particuliers de la classe des lois de rapport, dans laquelle la variable aléatoire du numérateur a une . En général, étant donné la loi de probabilité d'une variable aléatoire X à support strictement positif, il est possible de trouver la loi de l'inverse, Y = 1 / X . Si la loi de X est continue avec la fonction de densité f(x) et la fonction de répartition F(x), alors la fonction de répartition, G (y), de l'inverse est trouvée en notant que Ensuite, la fonction de densité de Y est trouvée comme la dérivée de la fonction de loi cumulative : La a une densité fonction de la forme: où signifie "est proportionnel à". Il s'ensuit que la loi inverse dans ce cas est de la forme qui est encore une loi réciproque. Si la variable aléatoire d'origine X est uniformément distribuée sur l'intervalle ( a, b ), où a > 0, alors la variable inverse Y = 1 / X a la loi inverse qui prend des valeurs dans l'intervalle ( b−1, a−1 ), et la fonction de densité de probabilité dans cette plage est et est nulle ailleurs. La fonction de répartition de l'inverse, dans le même intervalle, est Par exemple, si X est uniformément distribué sur l'intervalle (0;1), alors Y = 1 / X a une densité et a pour fonction de répartition lorsque Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Student avec k degrés de liberté. Alors sa fonction de densité est La densité de Y = 1 / X est alors Avec k = 1, les lois de X et 1 / X sont identiques ( X suit alors une loi de Cauchy (0,1)). Si k > 1 alors la loi de 1 / X est bimodale.