Concept

Isomorphisme musical

En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique ) est un isomorphisme entre le fibré tangent et le fibré cotangent d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles (bémol) et (dièse). En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement. Soit une variété pseudo-riemannienne. Supposons que soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent avec, comme repère dual (voir aussi base duale ), le co- repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent . Voir aussi coframe ) . Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme (où nous employons la convention de sommation d'Einstein). Étant donné un champ vectoriel , nous définissons son bémol : C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par , nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») : pour tous les champs vectoriels X et Y . De même, étant donné un champ de covecteurs , on définit son « dièse » : où sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit pour tout champ de covecteurs ω et tout champ de vecteurs Y. Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque p dans M, des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre et . Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.