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Concept
Isomorphisme musical
Résumé
En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique ) est un isomorphisme entre le fibré tangent et le fibré cotangent d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles (bémol) et (dièse).
En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement.
Soit une variété pseudo-riemannienne. Supposons que soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent avec, comme repère dual (voir aussi base duale ), le co- repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent . Voir aussi coframe ) .
Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme (où nous employons la convention de sommation d'Einstein).
Étant donné un champ vectoriel , nous définissons son bémol :
C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par , nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») :
pour tous les champs vectoriels X et Y .
De même, étant donné un champ de covecteurs , on définit son « dièse » :
où sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit
pour tout champ de covecteurs ω et tout champ de vecteurs Y.
Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses
Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque p dans M, des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre et .
Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux
L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué.
Source officielle
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