Processus de branchement

En théorie des probabilités, un processus de branchement est un processus stochastique formé par une collection de variables aléatoires. Les variables aléatoires d'un processus stochastique sont indexées par les nombres entiers naturels. Les processus de branchement ont été développés en premier lieu pour décrire une population dans laquelle chaque individu de la génération produit un nombre aléatoire d'individus dans la génération . Par exemple, une population de bactéries dans laquelle chaque individu, indépendamment des autres, produit un nombre aléatoire de descendants à chaque pas de temps. Les processus de branchement peuvent aussi être utilisés pour modéliser d'autres systèmes avec des dynamiques similaires, par exemple la propagation de noms de familles dans une généalogie ou de neutrons dans un réacteur nucléaire. La formulation la plus commune d'un processus de branchement est le processus de Galton-Watson. On définit récursivement la variable aléatoire Zn à valeurs dans pour désigner la taille de la population à la génération n, en commençant par . Supposons qu'on ait défini Zn pour . On définit alors un vecteur de variables aléatoires i.i.d à valeurs dans , dont chacune désigne le nombre de descendants de l'individu i de la population à la génération n. On pose alors On peut également représenter le processus de branchement sous la forme d'une marche aléatoire. Posons . Considérons un vecteur de variables aléatoires iid. On définit alors récursivement: et on arrête la marche si elle touche 0. Cette marche aléatoire s'appelle la marche de Lukasiewicz. Ici i ne représente plus le temps mais quelque chose de plus abstrait. Pour comprendre cette représentation, imaginez que l'on parcoure la population à travers les générations en visitant un individu à la fois, et que Si représente le nombre d'individus découverts non visités (notre but étant de visiter tous les individus). Chaque fois que l'on visite un individu, on peut retirer cet individu de Si (d'où le -1), mais on découvre par la même occasion tous les enfants de cet individu (notés Xi), que l'on ajoute donc au total des individus découverts non visités.