En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une équivalence de catégories est une relation qui établit que deux catégories sont "essentiellement les mêmes". C'est un foncteur entre les deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories relèvent d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante. La notion d'équivalence de catégories rend compte, de manière unifiée, de nombreuses dualités observées dans plusieurs pans de l'algèbre et de l'analyse. Soient C et D des catégories. Une équivalence de catégorie est la donnée de deux foncteurs tels que l'on ait les isomorphismes naturels C'est-à-dire que les foncteurs sont isomorphes dans la catégorie de foncteurs correspondante. En réalité, on peut savoir qu'un foncteur F fait partie d'une équivalence de catégories lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : F est un foncteur plein et fidèle ; F est un foncteur essentiellement surjectif. C'est le plus souvent la méthode employée pour révéler une équivalence de catégorie, sans toutefois avoir à (ou pouvoir) exhiber le pseudo-inverse G ou les transformations naturelles correspondantes. Elle utilise cependant l'axiome du choix. De manière similaire, deux catégories sont équivalentes si et seulement si leurs squelettes sont isomorphes. Une équivalence de catégorie indique que de nombreuses propriétés se conservent d'une catégorie à l'autre au travers du foncteur d'équivalence. En particulier, mais pas exclusivement : les objets initiaux et finals, les mono-, épi- et isomorphismes, les limites et colimites, égalisateurs, produits... En particulier, un foncteur qui réalise une équivalence de catégories est exact. Par définition, toute catégorie est équivalente à son squelette. La catégorie duale des schémas affines est équivalente à la catégorie des anneaux commutatifs au travers du foncteur Spec. C'est un cas particulier de la dualité d'Isbell.

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Dual (category theory)
In , a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements.
Opposite category
In , a branch of mathematics, the opposite category or dual category Cop of a given C is formed by reversing the morphisms, i.e. interchanging the source and target of each morphism. Doing the reversal twice yields the original category, so the opposite of an opposite category is the original category itself. In symbols, . An example comes from reversing the direction of inequalities in a partial order. So if X is a set and ≤ a partial order relation, we can define a new partial order relation ≤op by x ≤op y if and only if y ≤ x.
Catégorie de foncteurs
Une catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou : Les objets de sont les foncteurs de dans ; Les morphismes sont les transformations naturelles. Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur .
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