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Concept
Catégorie de foncteurs
Résumé
Une catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs.
Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou :
Les objets de sont les foncteurs de dans ;
Les morphismes sont les transformations naturelles.
Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur . La composition de transformations naturelles est construite ainsi : si et sont deux transformations naturelles, la composition verticale est définie élément par élément :
Cette composition est associative et possède une identité, ce qui donne bien une structure de catégorie.
Dans de nombreux cas, on exige que soit une catégorie localement petite, pour des raisons fondationnelles, c'est-à-dire que ses morphismes forment un ensemble et non une classe propre.
Si est petite et est localement petite (respectivement petite), alors la catégorie de foncteurs est localement petite (respectivement petite).
Lemme de Yoneda
Par le plongement de Yoneda, toute catégorie s'associe à une catégorie de foncteurs. En effet, pour tout objet X de , si on note le foncteur représentable contravariant de dans la catégorie des ensembles, on a que
est un plongement plein de dans la catégorie . Si la catégorie est petite, cette catégorie forme en particulier un topos.
De fait, plusieurs catégories peuvent en fait s'interpréter comme des catégories de foncteurs, comme notamment la catégorie des préfaisceaux sur un espace topologique, la catégorie des R-modules, ou la catégorie des graphes.
D'une manière générale, si est une petite catégorie, beaucoup des propriétés de se transportent à . Notamment :
Si toutes les limites (respectivement colimites) existent dans , elles existent dans ;
Si est une catégorie abélienne, c'est également le cas de ;
Si et sont deux foncteurs adjoints, alors les foncteurs induits et sont également adjoints.
Source officielle
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