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Concept
Support de fonction
Résumé
Le support d'une fonction ou d'une application est la partie de son ensemble de définition sur laquelle se concentre l'information utile de cette fonction. Pour une fonction numérique, c'est la partie du domaine où elle n'est pas nulle et pour un homéomorphisme ou une permutation, la partie du domaine où elle n'est pas invariante.
Soit une fonction à valeurs complexes, définie sur un espace topologique .
Définition : On appelle support de , noté , l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels la fonction ne s'annule pas.
C'est donc une partie fermée de X.
Les fonctions continues à support compact ont des propriétés souvent utiles.
Les fonctions C à support compact sont utilisées pour construire des suites régularisantes. Celles-ci permettent, via un produit de convolution, d'approcher une fonction donnée par une suite de fonctions régulières.
Soit un ouvert de . Les fonctions à support compact sont denses dans l'espace pour . On peut donc penser à démontrer des propriétés des espaces en utilisant un argument de densité : on démontre d'abord la propriété sur les fonctions à support compact et ensuite on passe à la limite.
L'espace des fonctions à support compact sur un ouvert de , est noté . Mais certains auteurs utilisent d'autres notations comme ou . En fait, les distributions sont définies comme étant les éléments du dual topologique de , muni d'une topologie adéquate.
Sur un espace métrique, les fonctions continues numériques à support compact sont uniformément continues. C'est le théorème de Heine.
On veut définir le support essentiel d'une fonction mesurable de telle façon qu'il ne dépende que de la classe d'équivalence des fonctions égales à presque partout, c'est-à-dire sauf sur un ensemble de mesure nulle.
Soit un ouvert de et une fonction mesurable.
Proposition : On considère l'ouvert de constitué des points au voisinage desquels p.p.. Alors, sur .
Définition : Le support essentiel de est :
Remarque : si sur , grâce à la proposition ci-dessus, on constate que
et donc le support essentiel d'une fonction mesurable est indépendant du représentant choisi.
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