Théorème d'inversion de Fourier

En mathématiques, le théorème d'inversion de Fourier dit que pour de nombreux types de fonctions, il est possible de retrouver une fonction à partir de sa transformée de Fourier. En traitement du signal, on pourrait dire que la connaissance de toutes les informations d'amplitude et de phase des ondes constituant un signal permet précisément de reconstruire ce signal. Le théorème dit que si nous avons une fonction f:\R \to \C satisfaisant certaines conditions, on peut définir la transformée de Fourier comme : (\mathcal{F}f)(\xi):=\int_{\mathbb{R}} \mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot\xi} , f(y),\mathrm{d}y, et la reconstruction de f à partir de sa transformée : f(x)=\int_{\mathbb{R}} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot\xi} , (\mathcal{F}f)(\xi),\mathrm{d}\xi. En d'autres termes, le théorème d'inversion de Fourier dit que : f(x)=\iint_{\mathbb{R}^2} \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}(x-y)\cdot\xi} , f(y),\mathrm{d}y,\mathrm{d}\

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Inversion de Fourier ponctuelle

Emanuel Enrico Seifert

Let f be an integrable function on RN, a a point in RN and B a complex number. If the mean value of f on the sphere of centre a and radius r tends to B when r tends to 0, we show that the Fourier integral at a of f is summable to B in Cesàro means of order λ > (N-1)/2. Let now U be a bounded open subset of RN whose boundary ∂U is a real analytic submanifold of RN with dimension N-1. We deduce from the preceding result that the Fourier integral at a of the indicator function of U is summable in Cesàro means of order λ > (N-1)/2 to 1 if a ∈ U, to 1/2 if a ∈ ∂U and to 0 if a ∉ U. We then show that if the function defined on ∂U by y → ‖ y - a ‖ has only a finite number of critical points, then we can take λ less or equal to (N-1)/2 ; more precisely, it suffices to have λ > (N-3)/2 + σ(a|∂U), where σ (a|∂U) < 0 is the maximum of the oscillatory indices associated to the critical points of y → ‖ y - a ‖ ; this generalizes results obtained by Pinsky, Taylor and Popov in 1997. Finally, writing μ∂U for the natural measure supported by ∂U, P(D) for a differential operator with constant coefficients of order m and b for a C∞ function on RN, we show that, if a is a point outside ∂U such that ‖ y - a ‖ has only a finite number of critical points on ∂U, the Fourier integral at a of the distribution P(D) bμ∂U is summable to 0 in Cesàro means of order λ > (N-1)/2 + m + σ (a|∂U) ; this generalizes a result obtained by Gonzàlez Vieli in 2002.

EPFL2007

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Analytic sensing: direct recovery of point sources from planar Cauchy boundary measurements - art. no. 67011Y

Thierry Blu, Djano Kandaswamy, Dimitri Nestor Alice Van De Ville

Spie-Int Soc Optical Engineering, Po Box 10, Bellingham, Wa 98227-0010 Usa2007

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Analytic Sensing: Direct Recovery of Point Sources from Planar Cauchy Boundary Measurements

Thierry Blu, Djano Kandaswamy, Dimitri Nestor Alice Van De Ville

Inverse problems play an important role in engineering. A problem that often occurs in electromagnetics (e.g. EEG) is the estimation of the locations and strengths of point sources from boundary data. We propose a new technique, for which we coin the term “analytic sensing”. First, generalized measures are obtained by applying Green's theorem to selected functions that are analytic in a given domain and at the same time localized to “sense” the sources. Second, we use the finite-rate-of-innovation framework to determine the locations of the sources. Hence, we construct a polynomial whose roots are the sources' locations. Finally, the strengths of the sources are found by solving a linear system of equations. Preliminary results, using synthetic data, demonstrate the feasibility of the proposed method.

SPIE2007

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Transformation de Fourier

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