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Concept
Théorème d'inversion de Fourier
Résumé
En mathématiques, le théorème d'inversion de Fourier dit que pour de nombreux types de fonctions, il est possible de retrouver une fonction à partir de sa transformée de Fourier. En traitement du signal, on pourrait dire que la connaissance de toutes les informations d'amplitude et de phase des ondes constituant un signal permet précisément de reconstruire ce signal.
Le théorème dit que si nous avons une fonction satisfaisant certaines conditions, on peut définir la transformée de Fourier comme
et la reconstruction de f à partir de sa transformée
En d'autres termes, le théorème d'inversion de Fourier dit que
Une autre façon d'énoncer le théorème est que si est l'opérateur défini par , alors
Le théorème est vérifié si la fonction f et sa transformée de Fourier sont absolument intégrables (au sens de Lebesgue) et si f est continue au point x. Cependant, même dans des conditions plus générales, les versions du théorème d'inversion de Fourier restent valables. Dans ces cas, les intégrales ci-dessus peuvent ne pas converger dans un sens ordinaire.
Dans cette section, on suppose que f est une fonction continue intégrable. Sa transformée de Fourier est donnée par
De plus, on suppose que la transformée de Fourier est également intégrable.
L'énoncé le plus courant du théorème d'inversion de Fourier est de donner la transformée inverse comme une intégrale. Pour toute fonction intégrable et tout ensemble
Alors pour tous on a
Le théorème peut être reformulé comme
Si f est une fonction à valeurs réelles, alors en prenant la partie réelle de chaque côté de ce qui précède, il vient :
Pour toute fonction g on définit l'opérateur d'inversion d'espace par
Ensuite, on peut alors redéfinir la transformée de Fourier inverse par
Il est immédiat à partir de la définition de la transformée de Fourier et de l'opérateur d'inversion que les deux fonctions et correspondent à la définition de , et en particulier sont égaux entre eux et satisfont .
Depuis on a et
Lorsqu'il est utilisé en physique et en ingénierie, le théorème d'inversion de Fourier est souvent utilisé sous l'hypothèse que tout « se comporte bien ».
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