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Concept
Homothétie
Résumé
vignette|Homothétie de centre O transformant le triangle (abc) en le triangle (a1b1c1).
Une homothétie est une transformation géométrique par agrandissement ou réduction ; autrement dit, une reproduction avec changement d'échelle. Elle se caractérise par son centre, point invariant, et un rapport qui est un nombre réel. Par l'homothétie de centre O et de rapport k, le point M est transformé en un point N tel que
En d'autres termes, l'homothétie laisse O fixe et envoie le point M sur un point N situé sur la droite (OM) par un agrandissement ou une réduction de rapport k.
Par exemple, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques.
Les homothéties de rapport non nul sont des cas particuliers de similitudes : elles multiplient les distances par la valeur absolue de leur rapport et préservent les angles.
Introduite en géométrie classique, la notion d'homothétie se généralise aux cadres des espaces vectoriels ou des espaces affines. L'ensemble des homothéties vectorielles de rapport non nul, muni de la composition, forme un groupe appelé groupe des homothéties, et l'ensemble des homothéties affines de rapport non nul et des translations muni de la composition forme également un groupe, appelé groupe des homothéties-translations.
Le terme d’homothétie, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé de deux éléments d'origine grecque : le préfixe homo- (ὁμός), « semblable », et thesis (), « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation.
Dans un espace affine P (par exemple dans le plan ou l'espace usuel), pour un point donné O de P et un scalaire non nul k, on appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation f de P qui laisse le point O invariant et telle que, pour tout point M distinct de O :
Les points O, M et f(M) sont alignés ;
Le rapport algébrique vaut k :
Dans le cas le plus courant où le corps des scalaires de l'espace affine P est celui des nombres réels ou des nombres complexes, on dit qu'une homothétie de rapport k avec :
|k|>1, est un agrandissement de rapport |k| ;
|k|
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