Loi de Cantor
En théorie des probabilités, la loi de Cantor est une loi de probabilité singulière dont le support est l'ensemble de Cantor et la fonction de répartition est l'escalier de Cantor. Comme ces derniers, le nom de la loi est issue du mathématicien allemand Georg Cantor. Cette loi de probabilité est singulière, ainsi elle n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et donc ne possède pas de densité de probabilité ; elle ne possède pas non plus de fonction de masse. Elle est donc ni une loi de probabilité discrète, ni une loi de probabilité à densité, ni un mélange de ces dernières. Le support de la loi de Cantor est l'ensemble de Cantor qui est l'intersection de la suite infinie d'ensembles : La loi de Cantor est l'unique loi de probabilité μ pour laquelle, sur toute union d'ensembles C, pour t ∈ {0,1,2,...} , la loi est uniforme sur chacun des 2 ensembles de C : Cette loi de Cantor est parfois précisée : « loi de Cantor sur [0, 1] ». Elle peut être définie de la même manière sur l'intervalle [–1,1], ce qui en fait une loi centrée. Il est aisé de remarquer, par symétrie, que l'espérance d'une variable aléatoire X de loi de Cantor est : . Les moments centrés d'ordre impair sont tous nuls. Donnons un calcul pour la variance. Pour l'ensemble C ci-dessus, soit Y=0 si et Y=1 si . Ceci s'écrit à l'aide d'une indicatrice : . Alors : De ceci, on obtient : Des formules pour tout moment d'ordre pair peuvent être obtenues en obtenant tout d'abord les cumulants : où B est le 2n-ième nombre de Bernoulli. La loi de Cantor est la loi du nombre aléatoire Z, compris entre 0 et 1, obtenu en tirant au hasard les chiffres de son développement triadique de la manière suivante : les chiffres sont indépendants et valent 0 ou 2 avec probabilité 0,5. Nota : si ces chiffres étaient indépendants et uniformément distribués sur l'ensemble {0,1,2}, Z suivrait la loi uniforme entre 0 et 1. Plus précisément, soit , l'intervalle Ω étant muni de la mesure de Lebesgue, ce qui en fait l'espace de probabilité canonique.
