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Concept
Fonction de masse (probabilités)
Résumé
En théorie des probabilités, la fonction de masse est la fonction qui donne la probabilité de chaque issue ( résultat élémentaire) d'une expérience aléatoire. C'est souvent ainsi que l'on définit une loi de probabilité discrète. Elle se distingue de la fonction de densité, de la densité de probabilité, en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires absolument continues, et que ce sont leurs intégrales sur des domaines qui ont valeurs de probabilités (et non leurs valeurs en des points).
Soit un espace probabilisé.
On appelle fonction de masse de et on note la fonction de dans définie par :
Si est discrète, alors pour tout
où est l'ensemble des atomes de et la mesure de Dirac au point
vignette|Un dé asiatique à six faces.
Lançons un dé équilibré à six faces. On a :
L'univers des issues possibles est
La tribu des événements possibles est (par exemple ; l'important est que soit une tribu (sur ) qui contienne au moins les événements physiquement possibles de l'expérience aléatoire).
Le dé n'est pas pipé, donc les six issues possibles sont équiprobables ; or donc chacune d'elles a la probabilité
Dans cet exemple simple :
Donc la fonction de masse de notée de vers est définie par :
(Voir l'article Loi uniforme discrète pour une présentation mathématiquement un peu différente du lancer d’un même dé équilibré à six faces.)
Soit un espace probabilisé, un espace probabilisable, et une variable aléatoire.
On appelle fonction de masse de et on note la fonction de dans définie par :
Si est discrète, alors pour tout
où est l'ensemble des atomes de et la mesure de Dirac au point
Le théorème de transfert donne, pour toute fonction
Pour une loi continue, la fonction de masse est la fonction nulle, donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière ( si elle est absolument continue), on utilise sa densité de probabilité.
Lançons une pièce de monnaie équilibrée ; soit la variable aléatoire identifiant les résultats « pile » à 0 et « face » à 1.
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