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Concept
Variable aléatoire à densité
Résumé
En théorie des probabilités, une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire réelle, scalaire ou vectorielle, pour laquelle la probabilité d'appartenance à un domaine se calcule à l'aide d'une intégrale sur ce domaine.
La fonction à intégrer est alors appelée « fonction de densité » ou « densité de probabilité », égale (dans le cas réel) à la dérivée de la fonction de répartition.
Les densités de probabilité sont les fonctions essentiellement positives et intégrables d'intégrale 1.
Informellement, une densité de probabilité peut être vue comme la limite d'un histogramme : si on dispose d'un échantillon suffisamment important de valeurs d'une variable aléatoire à densité, représenté par un histogramme des fréquences relatives des différentes classes de valeurs, alors cet histogramme va ressembler à la densité de probabilité de la variable aléatoire, pourvu que les classes de valeurs soient suffisamment étroites.
Une variable aléatoire réelle X est dite à densité s'il existe une fonction f positive et intégrable sur ,
appelée fonction de densité, telle que pour tout on ait .
Dans ce cas, pour tout réel a on trouve . En outre, la fonction de répartition est continue et même presque partout dérivable, et sa dérivée est alors presque partout égale à la fonction de densité.
On obtient aussi , ce qui correspond à la somme des probabilités élémentaires pour une variable aléatoire discrète, mais la fonction de densité peut très bien avoir des valeurs strictement supérieures à 1.
Le support d'une variable aléatoire à densité est l'adhérence de l'ensemble des réels pour lesquels la fonction de densité est essentiellement non nulle, c'est-à-dire le complémentaire de la réunion des intervalles ouverts sur lesquels la fonction de répartition est constante.
En traçant la représentation graphique de la densité de probabilité, la probabilité se lit comme l'aire sous la courbe sur l'intervalle [a , b].
On peut classer les lois à densité selon leur type de support : borné, semi-infini ou infini.
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