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Concept
Polynôme de Tutte
Résumé
Le polynôme de Tutte, aussi appelé polynôme dichromatique ou polynôme de Tutte–Whitney, est un polynôme invariant de graphes dont les valeurs expriment des propriétés d'un graphe. C'est un polynôme en deux variables qui joue un rôle important en théorie des graphes et en combinatoire. Il est défini pour tout graphe non orienté et contient des informations liées à ses propriétés de connexité.
L'importance de ce polynôme provient des informations qu'il contient sur le graphe . Étudié au départ dans le cadre de la théorie algébrique des graphes comme une généralisation des problèmes d'énumération liés à la coloration de graphes, il contient diverses spécialisations à d'autres disciplines, comme le polynôme de Jones en théorie des nœuds, les fonctions de partitions liées au en physique statistique, le polynôme énumérateur des poids en théorie des codes, le polynôme de fiabilité en théorie des réseaux. Tous peuvent être exprimés comme des spécialisations du polynôme de Tutte. Il est aussi à la source de divers problèmes algorithmiques en informatique théorique. L'interprétation combinatoire des polynômes de Tutte est en étroite relation avec l’énumération d'objets combinatoires par des méthodes de langages formels et séries formelles non commutatives
Les polynômes de Tutte ont plusieurs nom et définitions équivalents. Un polynôme de Tutte est équivalent au rang polynomial de Whitney, au polynôme dichromatique de Tutte et au random cluster model de Fortuin–Kasteleyn par des transformations simples. C'est essentiellement une série génératrice comptant les ensembles d'arêtes d'une taille de composantes connexes donnés, avec une généralisation naturelle aux matroïdes. C'est également l'invariant de graphes le plus général définissable par une récurrence de type suppression-contraction. Plusieurs livres de théorie des graphes ou de matroïdes consacrent des chapitres entiers aux polynômes de Tutte.
vignette|upright=2|Le polynôme est le polynôme de Tutte du graphe taureau. La ligne rouge indique l'intersection avec le plan , équivalent au polynôme chromatique.
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