Plan de Fano

thumb|Une représentation du plan de Fano (les six segments et le cercle représentent les 7 droites). En géométrie projective finie, le plan de Fano, portant le nom du mathématicien Gino Fano, est le plus petit plan projectif fini, c'est-à-dire celui comportant le plus petit nombre de points et de droites, à savoir 7 de chaque. C'est le seul plan projectif (au sens des axiomes d'incidence) de 7 points, et c'est le plan projectif sur le corps fini à deux éléments. Le plan de Fano peut être défini de deux façons, soit comme le plan projectif sur le corps à deux éléments, soit comme le plus petit plan projectif vérifiant certains axiomes dits d'incidence. Ces derniers n'assurent pas a priori (c'est une particularité de la dimension 2) que le plan projectif est défini sur un corps, mais dans le cas du plan de Fano elles sont équivalentes : à isomorphisme près (bijection conservant l'alignement), il n'y a qu'un seul plan projectif d'ordre 2. Le plan de Fano est le plan projectif sur le corps à deux éléments F2 = Z/2Z. Il est noté P2(F2), PG(2,F2), ou simplement PG(2,2). Par définition les points du plan de Fano sont donc les droites vectorielles de l'espace vectoriel F23, chacune de ces droites possède deux éléments dont un seul est non nul, et qui définit donc le point. Le plan de Fano possède donc exactement 23 – 1 = 7 points (les 7 éléments non nuls de F23). Les droites (projectives) du plan de Fano sont les plans vectoriels de F23, définis par une équation ax + by + cz = 0, où les coefficients a, b et c sont 0 ou 1, et non tous nuls, ce qui fait également 7 droites. La dualité entre l'espace vectoriel F23 et l'espace dual de ses formes linéaires induit une correspondance bijective par dualité entre points et droites du plan projectif. Une telle correspondance (elle n'est pas unique) est indiquée sur le dessin ci-contre. Une structure d'incidence est la donnée de deux ensembles P (les éléments de P sont appelés points) et D (les éléments de D sont appelés droites) disjoints et d'une relation binaire I entre éléments de P et éléments de D, soit un sous-ensemble de P×D.