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Variété kählérienne

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Ricci-flat manifold

In the mathematical field of differential geometry, Ricci-flatness is a condition on the curvature of a (pseudo-)Riemannian manifold. Ricci-flat manifolds are a special kind of Einstein manifold. In theoretical physics, Ricci-flat Lorentzian manifolds are of fundamental interest, as they are the solutions of Einstein's field equations in vacuum with vanishing cosmological constant. In Lorentzian geometry, a number of Ricci-flat metrics are known from works of Karl Schwarzschild, Roy Kerr, and Yvonne Choquet-Bruhat.

Courbure scalaire

En géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.

Tenseur de Ricci

Dans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.

Ample line bundle

In mathematics, a distinctive feature of algebraic geometry is that some line bundles on a projective variety can be considered "positive", while others are "negative" (or a mixture of the two). The most important notion of positivity is that of an ample line bundle, although there are several related classes of line bundles. Roughly speaking, positivity properties of a line bundle are related to having many global sections. Understanding the ample line bundles on a given variety X amounts to understanding the different ways of mapping X into projective space.

Complex differential form

In mathematics, a complex differential form is a differential form on a manifold (usually a complex manifold) which is permitted to have complex coefficients. Complex forms have broad applications in differential geometry. On complex manifolds, they are fundamental and serve as the basis for much of algebraic geometry, Kähler geometry, and Hodge theory. Over non-complex manifolds, they also play a role in the study of almost complex structures, the theory of spinors, and CR structures.

Hermitian manifold

In mathematics, and more specifically in differential geometry, a Hermitian manifold is the complex analogue of a Riemannian manifold. More precisely, a Hermitian manifold is a complex manifold with a smoothly varying Hermitian inner product on each (holomorphic) tangent space. One can also define a Hermitian manifold as a real manifold with a Riemannian metric that preserves a complex structure. A complex structure is essentially an almost complex structure with an integrability condition, and this condition yields a unitary structure (U(n) structure) on the manifold.

K3 (géométrie)

En géométrie différentielle ou algébrique, les surfaces K3 sont les variétés de Calabi-Yau de plus petite dimension différentes des tores. Ce sont des variétés complexes de dimension complexe 2 compactes et kählériennes. Les surfaces K3 possèdent en outre la propriété d'être les seules variétés de Calabi-Yau distincte du 4-tore T d'un point de vue topologique ou différentiel. Cependant, en tant que variété complexe, il y a un nombre infini de surfaces K3 non isomorphes. On peut notamment les distinguer par le biais du .

Ddbar lemma

In complex geometry, the lemma (pronounced ddbar lemma) is a mathematical lemma about the de Rham cohomology class of a complex differential form. The -lemma is a result of Hodge theory and the Kähler identities on a compact Kähler manifold. Sometimes it is also known as the -lemma, due to the use of a related operator , with the relation between the two operators being and so .

Coherent sheaf cohomology

In mathematics, especially in algebraic geometry and the theory of complex manifolds, coherent sheaf cohomology is a technique for producing functions with specified properties. Many geometric questions can be formulated as questions about the existence of sections of line bundles or of more general coherent sheaves; such sections can be viewed as generalized functions. Cohomology provides computable tools for producing sections, or explaining why they do not exist. It also provides invariants to distinguish one algebraic variety from another.

Cohomologie de Dolbeault

En géométrie complexe et en géométrie différentielle, la cohomologie de Dolbeault est une généralisation simplifiée aux variétés complexes de la cohomologie de De Rham. Pour un fibré vectoriel holomorphe sur une variété complexe , les formes différentielles sur à valeurs dans se définissent comme les sections du fibré . Parmi ces formes différentielles se distinguent celles qui sont localement somme du produit extérieur de formes linéaires et de formes antilinéaires, dites de bidegré .