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Concept
Courbure scalaire
Résumé
En géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.
Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. En dimension supérieure à 3, cependant, il n'y suffit pas et d'autres invariants sont nécessaires. La courbure scalaire est définie comme la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique (le point d'application m est souvent omis)
On peut aussi écrire en coordonnées locales et avec les conventions d'Einstein,
avec
Le scalaire de Ricci R ou Ric s'obtient à partir du tenseur de Ricci par la relation générale, appliquée à une surface :
En utilisant les relations entre composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann R et de Ricci de composantes R et R qui s'écrit alors, en deux dimensions :
on obtient la relation entre le scalaire de Ricci et la courbure de Gauss :
En deux dimensions, c’est-à-dire pour une surface, le scalaire de Ricci est le double de la courbure de Gauss K (au signe près selon la convention utilisée).
Pour une variété de dimension n à courbure constante (c'est-à-dire courbure sectionnelle constante) K, la courbure scalaire est constante également, de valeur . Ainsi l'espace euclidien a une courbure scalaire nulle, une sphère de rayon r munie de sa structure canonique admet une courbure constante positive .
Le tenseur de courbure d'un produit de variétés riemanniennes est la somme des tenseurs de courbure, donc la courbure scalaire est également la somme des courbures scalaires.
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Proximité ontologique
Concepts associés (21)
Équation d'Einstein
vignette|Équation sur un mur à Leyde. L’'équation d'Einstein ou équation de champ d'Einstein' (en anglais, Einstein field equation ou EFE), publiée par Albert Einstein, pour la première fois le , est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale. C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source.
Tenseur de Ricci
Dans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.
Ricci-flat manifold
In the mathematical field of differential geometry, Ricci-flatness is a condition on the curvature of a (pseudo-)Riemannian manifold. Ricci-flat manifolds are a special kind of Einstein manifold. In theoretical physics, Ricci-flat Lorentzian manifolds are of fundamental interest, as they are the solutions of Einstein's field equations in vacuum with vanishing cosmological constant. In Lorentzian geometry, a number of Ricci-flat metrics are known from works of Karl Schwarzschild, Roy Kerr, and Yvonne Choquet-Bruhat.