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Concept
Courbure scalaire
Résumé
En géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.
Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. En dimension supérieure à 3, cependant, il n'y suffit pas et d'autres invariants sont nécessaires. La courbure scalaire est définie comme la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique (le point d'application m est souvent omis)
On peut aussi écrire en coordonnées locales et avec les conventions d'Einstein,
avec
Le scalaire de Ricci R ou Ric s'obtient à partir du tenseur de Ricci par la relation générale, appliquée à une surface :
En utilisant les relations entre composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann R et de Ricci de composantes R et R qui s'écrit alors, en deux dimensions :
on obtient la relation entre le scalaire de Ricci et la courbure de Gauss :
En deux dimensions, c’est-à-dire pour une surface, le scalaire de Ricci est le double de la courbure de Gauss K (au signe près selon la convention utilisée).
Pour une variété de dimension n à courbure constante (c'est-à-dire courbure sectionnelle constante) K, la courbure scalaire est constante également, de valeur . Ainsi l'espace euclidien a une courbure scalaire nulle, une sphère de rayon r munie de sa structure canonique admet une courbure constante positive .
Le tenseur de courbure d'un produit de variétés riemanniennes est la somme des tenseurs de courbure, donc la courbure scalaire est également la somme des courbures scalaires.
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