Courbure scalaire

Résumé

En géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire. Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. En dimension supérieure à 3, cependant, il n'y suffit pas et d'autres invariants sont nécessaires. La courbure scalaire est définie comme la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique (le point d'application m est souvent omis) :R = \mbox{tr}_g(\mathrm{Ric}) On peut aussi écrire en coordonnées locales et avec les conventions d'Einstein, :R = g^{ij}R_{ij}

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbure_scalaire

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Warped tori with almost non-negative scalar curvature

Davide Parise

For sequences of warped product metrics on a 3-torus satisfying the scalar curvature bound Rj = -1j, uniform upper volume and diameter bounds, and a uniform lower area bound on the smallest minimal surface, we find a subsequence which converges in both the Gromov-Hausdorff and the Sormani-Wenger intrinsic flat sense to a flat 3-torus.

SPRINGER2019

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Sharp estimates on the first eigenvalue of the p-Laplacian with negative Ricci lower bound

Daniele Valtorta

We complete the picture of sharp eigenvalue estimates for the -Laplacian on a compact manifold by providing sharp estimates on the first nonzero eigenvalue of the nonlinear operator when the Ricci curvature is bounded from below by a negative constant. We assume that the boundary of the manifold is convex, and put Neumann boundary conditions on it. The proof is based on a refined gradient comparison technique and a careful analysis of the underlying model spaces.

Springer Verlag2014

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Ill-posedness of the quasilinear wave equation in the space $H^7/4 (ln H)^-Béta$ in dimension 2+1

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We are interested in the well posedness of quasilinear partial differential equations of order two. Motivated by the study of the Einstein equation in relativity theory, there are a number of works dedicated to the local well-posedness issue for the quasilinear wave equation. We will focus on local well-posedness for the wave equation ; more precisely we are looking at the smallest Sobolev index such that the local well-posedness holds true for initial data in this space. In 2005, D. Tataru and Hart. F. Smith provided the current best upper bound for the smallest index in low dimension. In 1998, Hans Lindblad constructed a counter example for s=3 in dimension three, thus revealing the sharpness of Tataru and Smith's criteria in this dimension. Here, our goal is to obtain sharp counterexamples to local well-posedness for quasilinear wave equations of geometric character. First, we check how the construction by Lindblad translates to dimension two. Next, we shall try to see if a similar breakdown result applies to the vanishing mean curvature problem in Minkowski space. Finally, as a more long term goal, we may try to find explicit singular solutions of this problem, starting with smooth data, by following the constructions of Krieger-Schlag-Tataru.

EPFL2021

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