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Concept
Borne supérieure et borne inférieure
Résumé
En mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. Dualement, la borne inférieure (ou l'infimum) d'une partie est le plus grand de ses minorants.
Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que R possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels. Les bornes supérieure et inférieure d'un intervalle borné non vide de R sont simplement ses extrémités.
Les bornes supérieure et inférieure d'une fonction sont les bornes de l'ensemble de ses valeurs.
N.B. : Les expressions anglaises upper bound et lower bound ne correspondent pas à « borne supérieure » et « borne inférieure », mais à majorant et minorant, respectivement ; « borne supérieure » se traduit par least upper bound ou supremum et « borne inférieure » par greatest lower bound ou infimum.
Dans un ensemble partiellement ordonné E, la borne supérieure d'une partie F de E est, s'il existe, le plus petit des majorants de F dans E. Elle est classiquement notée sup(F), et caractérisée par : si
M est un majorant de F : x ≤ M pour tout x de F, et
c'est le plus petit : pour tout y de E, si y est un majorant de F (c'est-à-dire si pour tout x de F, x ≤ y), alors M ≤ y.
Remarques
Le lien entre la notion de borne supérieure et celle de plus grand élément (cf. début de la section « Exemples » ci-dessous) est dû au fait que si M appartient à F, le point 2 ci-dessus est automatiquement vérifié.
Si M = sup(F) alors, pour un élément donné y de E :
le point 2.
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