Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Théorème de Frobenius (algèbre)
Résumé
En mathématiques, plus spécifiquement en algèbre, le théorème de Frobenius, démontré par Ferdinand Georg Frobenius en 1877, caractérise les algèbres associatives à division de dimension finie sur le corps commutatif R des réels. Il n'y en a que trois (à isomorphisme près) : le corps R des réels, celui C des complexes et le corps non commutatif H des quaternions.
Le théorème de Frobenius généralisé de Hurwitz établit que si l'on enlève les contraintes d'associativité et de finitude mais qu'on rajoute celle d'être une algèbre de composition, on ne trouve qu'une quatrième R-algèbre à division : celle des octonions.
On peut remplacer les hypothèses « à division » et « de dimension finie » de l'énoncé par les hypothèses plus faibles « sans diviseur de zéro » et « algébrique ».
Soient donc D une R-algèbre associative sans diviseur de zéro, algébrique sur R mais non réduite à R, x un élément non réel de D, et C = R[x].
Alors, C est une extension algébrique stricte de R, donc est isomorphe à C. Notons i l'une des deux racines carrées de –1 dans C. L'automorphisme intérieur associé à i est une involution, donc diagonalisable en tant qu'endomorphisme d'espace vectoriel sur R :
où D et D désignent respectivement les espaces propres associés à 1 et –1 :
Le sous-espace D est une extension de C, algébrique donc réduite à C. Par conséquent, si le sous-espace D est nul alors D est isomorphe à C.
Si D est non nul, soient y un élément non nul de D et (comme précédemment) j l'une des deux racines carrées de –1 dans l'algèbre R[y] = R + Ry. Puisque y appartient à la fois à cette algèbre et à D, il est réel. On en déduit que j est un multiple réel de y, donc appartient à D. La bijection d↦dj échange D = C et D, si bien que
avec k = ij = –ji, et D est alors isomorphe à H.
Ce théorème possède l'interprétation moderne suivante. Les R-algèbres associatives à division de dimension finie sont les algèbres centrales à division sur les extensions finies de R. Elles correspondent donc aux éléments des deux groupes de Brauer Br(R) et Br(C).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.