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Concept
Nombre hypercomplexe
Résumé
En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes.
Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Élie Cartan. L'étude des systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire.
Les nombres hypercomplexes sont utilisés en physique quantique pour calculer la probabilité d'un événement en tenant compte du spin de la particule. En négligeant le spin, les nombres complexes « normaux » suffisent .
Cet article donne une vue d'ensemble des différents systèmes, incluant certains types qui n'ont pas été considérés par les pionniers avant la perception moderne issue de l'algèbre linéaire. Pour les détails, les références et les sources, suivre le lien associé au nombre particulier.
L’usage le plus commun du terme nombre hypercomplexe fait référence sans doute aux systèmes algébriques avec une « dimensionnalité » (axes), comme ceux contenus dans la liste suivante. Pour les autres (comme les nombres transfinis, les nombres superréels, les nombres hyperréels, les nombres surréels), voir l'article « Nombre ».
Une définition accessible et moderne d'un nombre hypercomplexe est donnée par Kantor et Solodovnikov (voir la référence complète ci-dessous). Ils sont éléments d'une algèbre réelle unitaire (non nécessairement associative) de dimension n + 1 > 0.
D'un point de vue géométrique, cette algèbre contient donc un axe réel et au moins un axe non réel. Ses éléments sont les combinaisons linéaires, à coefficients réels , d'une base canonique ().
Lorsque cela est possible, on choisit traditionnellement une base telle que .
Les algèbres ci-dessous peuvent toutes avoir une telle base.
Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à partir des nombres réels par la construction de Cayley-Dickson.
Celle-ci permet d’étendre les nombres complexes en algèbres de dimension ().
Source officielle
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