Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Système dynamique mesuré
Résumé
In mathematics, a measure-preserving dynamical system is an object of study in the abstract formulation of dynamical systems, and ergodic theory in particular. Measure-preserving systems obey the Poincaré recurrence theorem, and are a special case of conservative systems. They provide the formal, mathematical basis for a broad range of physical systems, and, in particular, many systems from classical mechanics (in particular, most non-dissipative systems) as well as systems in thermodynamic equilibrium.
A measure-preserving dynamical system is defined as a probability space and a measure-preserving transformation on it. In more detail, it is a system
with the following structure:
is a set,
is a σ-algebra over ,
is a probability measure, so that , and ,
is a measurable transformation which preserves the measure , i.e., .
One may ask why the measure preserving transformation is defined in terms of the inverse instead of the forward transformation . This can be understood in a fairly easy fashion. Consider a mapping of power sets:
Consider now the special case of maps which preserve intersections, unions and complements (so that it is a map of Borel sets) and also sends to (because we want it to be conservative). Every such conservative, Borel-preserving map can be specified by some surjective map by writing . Of course, one could also define , but this is not enough to specify all such possible maps . That is, conservative, Borel-preserving maps cannot, in general, be written in the form one might consider, for example, the map of the unit interval given by this is the Bernoulli map.
has the form of a pushforward, whereas is generically called a pullback. Almost all properties and behaviors of dynamical systems are defined in terms of the pushforward. For example, the transfer operator is defined in terms of the pushforward of the transformation map ; the measure can now be understood as an invariant measure; it is just the Frobenius–Perron eigenvector of the transfer operator (recall, the FP eigenvector is the largest eigenvector of a matrix; in this case it is the eigenvector which has the eigenvalue one: the invariant measure.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Concepts associés (18)
Processus de Bernoulli
En probabilités et en statistiques, un processus de Bernoulli est un processus stochastique discret qui consiste en une suite de variables aléatoires indépendantes qui prennent leurs valeurs parmi deux symboles. Prosaïquement, un processus de Bernoulli consiste à tirer à pile ou face plusieurs fois de suite, éventuellement avec une pièce truquée. Une variable dans une séquence de ce type peut être qualifiée de variable de Bernoulli. Un processus de Bernoulli est une chaîne de Markov. Son arbre de probabilité est un arbre binaire.
Décalage de Bernoulli (langage formel)
Un décalage de Bernoulli (en anglais Bernoulli shift) est une transformation opérant sur des mots de longueur infinie, étudiée en dynamique symbolique. Étant donné un alphabet Λ, c'est-à-dire un ensemble fini. Un mot infini est une suite à valeurs dans l'alphabet Λ. Le décalage de Bernoulli est l'application qui décale un mot d'un cran vers la gauche : On peut définir de même les décalages de Bernoulli pour des mots infinis indexés sur et les résultats et propriétés énoncés sont similaires.
Théorie ergodique
vignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Cours associés (19)
PHYS-727: Physics of Behavior
This doctoral class will focus on high-dimensional multi-agent behavioral data, modeled based on first principles or with statistical methods.
MICRO-462: Learning and adaptive control for robots
To cope with constant and unexpected changes in their environment, robots need to adapt their paths rapidly and appropriately without endangering humans. this course presents method to react within mi
MATH-518: Ergodic theory
This is an introductory course in ergodic theory, providing a comprehensive overlook over the main aspects and applications of this field.