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Concept
Processus de Bernoulli
Résumé
En probabilités et en statistiques, un processus de Bernoulli est un processus stochastique discret qui consiste en une suite de variables aléatoires indépendantes qui prennent leurs valeurs parmi deux symboles. Prosaïquement, un processus de Bernoulli consiste à tirer à pile ou face plusieurs fois de suite, éventuellement avec une pièce truquée. Une variable dans une séquence de ce type peut être qualifiée de variable de Bernoulli.
Un processus de Bernoulli est une chaîne de Markov. Son arbre de probabilité est un arbre binaire.
Un processus de Bernoulli est un processus stochastique discret qui consiste en une suite finie ou infinie de variables aléatoires indépendantes X1, X2, X3... telles que :
quel que soit i, la valeur de Xi est soit 0, soit 1 ;
pour toutes les valeurs de i, la probabilité que Xi = 1 est le même nombre p.
Autrement dit, un processus de Bernoulli est une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes et équiprobables. Les deux valeurs possibles pour chaque Xi sont souvent appelées « succès » et « échec », et c'est ainsi que, lorsqu'elle est exprimée sous la forme 0 ou 1, la valeur est décrite comme le nombre de succès après la i-ème « épreuve ». Les différentes variables succès/échec Xi sont également appelées épreuves de Bernoulli.
L'indépendance des épreuves de Bernoulli suppose la propriété d'absence de mémoire : les épreuves passées ne donnent aucune information sur les résultats à venir. À partir de n'importe quel moment, les épreuves futures forment également un processus de Bernoulli indépendant du passé (propriété de départ à neuf).
Les variables aléatoires associées au processus de Bernoulli comprennent
le nombre de succès lors des n premiers essais, qui suit une loi binomiale ;
le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir r succès, qui suit une loi binomiale négative ;
le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir un succès, qui suit une loi géométrique, qui est un cas particulier de la loi binomiale négative.
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