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Concept
Théorie ergodique
Résumé
vignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ». Une version quantique de ceci peut être trouvée à File:Hamiltonian flow quantum.webm
La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Il y a ergodicité si plusieurs analyses statistiques différentes et séparées sur un même sujet produisent un résultat suffisamment comparable. La théorie a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.
Système dynamique mesuré
L'objet d'étude en théorie ergodique est un triplet où :
est un espace mesurable (c’est-à-dire que est une tribu sur ) ;
une mesure sur ;
une application préservant la mesure , c’est-à-dire telle que :
L'application engendre une dynamique discrète : partant d'un point , on obtient successivement , puis , et ainsi de suite.
On peut étendre l'étude au cas d'une dynamique continue en remplaçant l'application précédente par un flot sur X, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre tel que :
Ce cas est particulièrement important puisqu'il inclut le flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi que le flot géodésique.
Le cas continu englobe le cas discret, car on peut toujours construire une application discrète à partir d'un flot continu, en posant par exemple pour l'unité de temps. Poursuivant l'analogie avec le vocabulaire de l'hydrodynamique, l'application discrète est alors parfois baptisée « cascade » par certains mathématiciens.
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