Groupe de Brauer

En mathématiques, le groupe de Brauer, nommé d'après Richard Brauer, constitue l'espace classifiant des algèbres centrales simples sur un corps commutatif k donné, pour une certaine relation d'équivalence. On munit cet espace d'une structure de groupe abélien en l'identifiant à un espace de cohomologie galoisienne. Une algèbre centrale simple sur un corps commutatif k, est une algèbre associative de dimension finie A, qui n'admet aucun idéal bilatère non trivial (simplicité), et dont le centre est k (centralité). Par exemple, le corps des nombres complexes forme une algèbre centrale simple sur lui-même, mais pas sur le corps des nombres réels, la propriété de centralité étant en défaut. En revanche, l'algèbre des quaternions d'Hamilton est une algèbre centrale simple sur le corps des nombres réels. On forme le produit tensoriel de deux algèbres A et B en définissant une multiplication sur le produit tensoriel d'espaces vectoriels A ⊗ B, en étendant par bilinéarité la définition (a⊗b)(c⊗d) = ac⊗bd. Un produit tensoriel de deux algèbres centrales simples est une algèbre centrale simple. La première caractérisation importante des algèbres centrales simples est que ce sont exactement les algèbres A de dimension finie qui deviennent isomorphes à une algèbre de matrices Mn(K) par extension des scalaires à une extension finie K du corps k ; c'est-à-dire en considérant le produit tensoriel . Par ailleurs, le théorème de Wedderburn assure que toute algèbre simple est isomorphe à une algèbre de matrices à coefficients dans un corps (non commutatif) D contenant k, le corps D étant unique à isomorphisme près. On introduit alors la relation suivante : deux algèbres centrales simples A et A sont équivalentes si et seulement si le même corps D peut être choisi pour les deux dans ce qui précède. Une autre définition équivalente consiste à demander qu'il existe des entiers m et n tels qu'on ait un isomorphisme d'algèbres . Les classes d'équivalence pour cette relation forment alors un groupe abélien pour le produit tensoriel appelé groupe de Brauer'''.

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Corps de nombres

En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.

Groupe de Brauer

Central simple algebra

In ring theory and related areas of mathematics a central simple algebra (CSA) over a field K is a finite-dimensional associative K-algebra A which is simple, and for which the center is exactly K. (Note that not every simple algebra is a central simple algebra over its center: for instance, if K is a field of characteristic 0, then the Weyl algebra is a simple algebra with center K, but is not a central simple algebra over K as it has infinite dimension as a K-module.

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On the Brauer group of diagonal quartic surfaces

Evis Ieronymou

We obtain an easy sufficient condition for the Brauer group of a diagonal quartic surface D over Q to be algebraic. We also give an upper bound for the order of the quotient of the Brauer group of D by the image of the Brauer group of Q. The proof is based on the isomorphism of the Fermat quartic surface with a Kummer surface due to Mizukami.

2011

We exhibit central simple algebras over the function field of a diagonal quartic surface over the complex numbers that represent the 2-torsion part of its Brauer group. We investigate whether the 2-primary part of the Brauer group of a diagonal quartic surface over a number field is algebraic and give sufficient conditions for this to be the case. In the last section we give an obstruction to weak approximation due to a transcendental class on a specific diagonal quartic surface, an obstruction which cannot be explained by the algebraic Brauer group which in this case is just the constant algebras.

Cambridge University Press2010