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Concept
Fonction digamma
Résumé
En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma :
À la suite des travaux d'Euler sur la fonction gamma, James Stirling a introduit la fonction digamma en 1730, en la notant par Ϝ, la lettre grecque digamma (majuscule). Elle fut par la suite étudiée par Legendre, Poisson et Gauss vers 1810 ; la convergence de la série de Stirling pour cette fonction a été démontrée par Stern en 1847. Elle est désormais le plus souvent notée par la lettre ψ (psi minuscule).
Partant de l'équation fonctionnelle de la fonction gamma, , en dérivant et en divisant par , on obtient , autrement dit (pour tout z non entier négatif). On en déduit par récurrence que, pour tout entier n > 1,
où H est le n-ième nombre harmonique (le calcul de sera exposé ci-dessous).
La fonction digamma pourrait ainsi définir une généralisation des nombres harmoniques aux complexes.
La fonction digamma est une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe privé des entiers négatifs.
La définition de la fonction gamma sous forme intégrale () montre que pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive,
Ainsi,
où γ = 0,577... est la constante d'Euler-Mascheroni.
Par ailleurs, donc on a (en dérivant) la relation de « récurrence »
en fait, le théorème de Bohr-Mollerup montre que la fonction digamma est la seule solution de l'équation fonctionnelle
qui est monotone sur R et qui vérifie F(1) = −γ.
On en déduit que la fonction digamma d'un entier n > 0, souvent notée aussi ψ(n) ou même ψ(n), est reliée aux nombres harmoniques par
où est le (n – 1)-ième nombre harmonique.
La fonction digamma satisfait également une similaire à celle de la fonction Gamma : pour tout nombre complexe z dont la partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1,
D'autres représentations par des intégrales existent. Ainsi, si la partie réelle de z est positive, on a :
qu'on peut aussi écrire
La relation de récurrence permet d'obtenir la formule suivante :
La fonction digamma possède également une représentation en série zêta rationnelle :
(où ζ(n) est la fonction zêta de Riemann),
qui converge pour z < 1.
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