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Concept
Fonction zêta de Hurwitz
Résumé
vignette|Fonction zêta de Hurwitz
En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.
Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 :
Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1.
est la fonction zêta de Riemann.
où Γ désigne la fonction Gamma.
La fonction s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1.
Son développement de Laurent en ce pôle est
où les coefficients
sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles correspondent à la fonction zêta de Riemann).
La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite :
La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma :
La formule de Hurwitz est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :
où
Li étant la fonction polylogarithme.
L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers
reste valable pour toutes les valeurs de s.
La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :
Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :
La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.
Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour et ) :
la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et ) :
En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s,q) où q = k/Q et k = 1, 2, ..., Q.
Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :
Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible :
la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q.
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