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Concept
Valeur principale
Résumé
En mathématiques, plus particulièrement en analyse complexe, les valeurs principales d'une fonction à plusieurs valeurs sont les valeurs le long d'une branche choisie de cette fonction, de sorte qu'elle est à valeur unique. Le cas le plus simple se présente en prenant la racine carrée d'un nombre réel positif. Par exemple, 4 a deux racines carrées : 2 et −2 ; parmi ceux-ci, la racine positive, 2, est considérée comme la racine principale et est notée .
On considère la fonction logarithme complexe ln(z) . Il est défini comme le nombre complexe w tel que
Maintenant, par exemple, on suppose qu'on souhaite trouver la valeur . Cela signifie que qu'il faut résoudre pour w
Il est clair que est une solution. Mais est-ce la seule solution ?
Bien sûr, il existe d'autres solutions, ce qui est mis en évidence en considérant la position de i dans le plan complexe et en particulier son argument arg(i). On peut tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de π / 2 radians à partir de 1 pour atteindre i initialement, mais si on fait une rotation supplémentaire de 2π, on atteint à nouveau i. Donc, il serait possible de conclure que i (π / 2 + 2π) est aussi une solution pour ln(i). Il devient clair dès lors qu'on peut ajouter (ou soustraire) n'importe quel multiple de 2i π à la solution initiale pour obtenir toutes les valeurs de ln(i).
Mais cela a une conséquence qui peut surprendre en comparaison des fonctions à valeurs réelles : ln(i) n'a pas formellement de valeur définie. Pour ln(z), on a
pour un entier k, où Arg(z) est l'argument (principal) de z défini comme étant dans l'intervalle ]–π , π]. Comme l'argument principal est unique pour un nombre complexe donné z, –π n'est pas inclus dans l'intervalle. Chaque valeur de k détermine ce que l'on appelle une branche (ou feuille), un composant à valeur unique de la fonction ln à valeurs multiples.
La branche correspondant à k = 0 est connue comme la branche principale, et le long de cette branche, les valeurs que prend la fonction sont connues comme les valeurs principales.
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Proximité ontologique