Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Valeur principale
Résumé
En mathématiques, plus particulièrement en analyse complexe, les valeurs principales d'une fonction à plusieurs valeurs sont les valeurs le long d'une branche choisie de cette fonction, de sorte qu'elle est à valeur unique. Le cas le plus simple se présente en prenant la racine carrée d'un nombre réel positif. Par exemple, 4 a deux racines carrées : 2 et −2 ; parmi ceux-ci, la racine positive, 2, est considérée comme la racine principale et est notée .
On considère la fonction logarithme complexe ln(z) . Il est défini comme le nombre complexe w tel que
Maintenant, par exemple, on suppose qu'on souhaite trouver la valeur . Cela signifie que qu'il faut résoudre pour w
Il est clair que est une solution. Mais est-ce la seule solution ?
Bien sûr, il existe d'autres solutions, ce qui est mis en évidence en considérant la position de i dans le plan complexe et en particulier son argument arg(i). On peut tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de π / 2 radians à partir de 1 pour atteindre i initialement, mais si on fait une rotation supplémentaire de 2π, on atteint à nouveau i. Donc, il serait possible de conclure que i (π / 2 + 2π) est aussi une solution pour ln(i). Il devient clair dès lors qu'on peut ajouter (ou soustraire) n'importe quel multiple de 2i π à la solution initiale pour obtenir toutes les valeurs de ln(i).
Mais cela a une conséquence qui peut surprendre en comparaison des fonctions à valeurs réelles : ln(i) n'a pas formellement de valeur définie. Pour ln(z), on a
pour un entier k, où Arg(z) est l'argument (principal) de z défini comme étant dans l'intervalle ]–π , π]. Comme l'argument principal est unique pour un nombre complexe donné z, –π n'est pas inclus dans l'intervalle. Chaque valeur de k détermine ce que l'on appelle une branche (ou feuille), un composant à valeur unique de la fonction ln à valeurs multiples.
La branche correspondant à k = 0 est connue comme la branche principale, et le long de cette branche, les valeurs que prend la fonction sont connues comme les valeurs principales.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.