Intégration des fonctions réciproques

L'intégration de la fonction réciproque f d'une bijection f peut être effectuée au moyen d'une formule mathématique mettant seulement en jeu la bijection réciproque f et une primitive de f. Soit I et I deux intervalles de . Supposons que f : I → I est une bijection continue et soit f : I → I sa bijection réciproque (on démontre que f est également continue, donc f et f admettent des primitives). Si F désigne une primitive de f, les primitives de f sont de la forme Si f est supposée dérivable, le théorème ci-dessus s'ensuit immédiatement par dérivation (première méthode). Si f est supposée dérivable, le théorème s'obtient par changement de variable (en posant y = f(x)), suivi d'une intégration par parties. Ces deux cas particuliers du théorème sont en fait équivalents puisque ( ci-dessous) son énoncé peut se reformuler de façon symétrique en f et f . La première méthode s'adapte au cas où f est seulement absolument continue. La seconde s'adapte au cas général : il suffit de raisonner sur des intégrales de Stieltjes. Si f(a) = c et f(b) = d, le théorème se réécrit :La figure ci-contre est une preuve sans mots de cette formule (proche sous cette forme de l'inégalité de Young), que l'on peut expliciter en termes d'intégrales de Riemann-Darboux. qu'en tout point y de I, le nombre dérivé de la fonction y ↦ yf (y) – F(f (y)) est bien égal à f (y), c'est-à-dire queIl suffit pour cela d'appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction F entre x et x + h, puis de se souvenir que f est monotone. Supposons que , donc . La formule ci-dessus implique immédiatement De même, avec et , il vient Avec et , il vient Ce théorème d'intégration, accompagné de sa justification géométrique en termes d'aire, et d'une démonstration supposant f dérivable, fut publié en 1905 par Charles-Ange Laisant, qui la jugeait , mais cherchait à la répandre dans l'enseignement. Le résultat fut publié indépendamment en 1912 par un ingénieur italien, Alberto Caprilli. Le théorème a été traité dans des publications destinées à l'enseignement.