Théorème de Fermat sur les points stationnaires

In mathematics, Fermat's theorem (also known as interior extremum theorem) is a method to find local maxima and minima of differentiable functions on open sets by showing that every local extremum of the function is a stationary point (the function's derivative is zero at that point). Fermat's theorem is a theorem in real analysis, named after Pierre de Fermat. By using Fermat's theorem, the potential extrema of a function , with derivative , are found by solving an equation in . Fermat's theorem gives only a necessary condition for extreme function values, as some stationary points are inflection points (not a maximum or minimum). The function's second derivative, if it exists, can sometimes be used to determine whether a stationary point is a maximum or minimum. One way to state Fermat's theorem is that, if a function has a local extremum at some point and is differentiable there, then the function's derivative at that point must be zero. In precise mathematical language: Let be a function and suppose that is a point where has a local extremum. If is differentiable at , then . Another way to understand the theorem is via the contrapositive statement: if the derivative of a function at any point is not zero, then there is not a local extremum at that point. Formally: If is differentiable at , and , then is not a local extremum of . The global extrema of a function f on a domain A occur only at boundaries, non-differentiable points, and stationary points. If is a global extremum of f, then one of the following is true: boundary: is in the boundary of A non-differentiable: f is not differentiable at stationary point: is a stationary point of f In higher dimensions, exactly the same statement holds; however, the proof is slightly more complicated. The complication is that in 1 dimension, one can either move left or right from a point, while in higher dimensions, one can move in many directions. Thus, if the derivative does not vanish, one must argue that there is some direction in which the function increases – and thus in the opposite direction the function decreases.

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Théorème de Fermat sur les points stationnaires

En analyse réelle, le théorème de Fermat sur les points stationnaires permet, lors de la recherche d'éventuels extrema locaux d'une fonction dérivable, de limiter l'étude aux zéros de sa dérivée et aux bornes de son ensemble de définition. L'énoncé est le suivant : La réciproque est fausse : par exemple, la fonction , en , a une dérivée nulle mais pas d'extremum local. La condition nécessaire pour un extremum local ne s'applique pas aux bornes de l'intervalle. Par exemple, la fonction admet deux extremums globaux (a fortiori locaux), atteints en 0 et 1.

Point stationnaire

350px|thumb|right|Les points stationnaires de la fonction sont marquées par des ronds rouges. Dans ce cas, ce sont des extrema locaux. Les carrés bleus désignent les points d'inflexion. En analyse réelle, un point stationnaire ou point critique d'une fonction dérivable d'une variable réelle est un point de son graphe où sa dérivée s'annule. Visuellement, cela se traduit par un point où la fonction arrête de croître ou de décroître. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule.

Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum. Cette notion est particulièrement utilisée en mathématiques, où l'expression maximo-minimum, introduite par Nicolas de Cues, correspond à partir de Fermat et Leibniz aux extrêmes d'une courbe ou d'une fonction, repérés par le fait que les dérivées s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le principe de moindre action est un principe extrémal ainsi que Euler l'a montré.

MATH-101(de): Analysis I (German)

Es werden die Grundlagen der Analysis sowie der Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer reellen Veränderlichen erarbeitet.

MATH-106(f): Analysis II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables.

MATH-106(e): Analysis II

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables.

Finding stationary points on bounded-rank matrices: a geometric hurdle and a smooth remedy

Nicolas Boumal

We consider the problem of provably finding a stationary point of a smooth function to be minimized on the variety of bounded-rank matrices. This turns out to be unexpectedly delicate. We trace the difficulty back to a geometric obstacle: On a nonsmooth set, there may be sequences of points along which standard measures of stationarity tend to zero, but whose limit points are not stationary. We name such events apocalypses, as they can cause optimization algorithms to converge to non-stationary points. We illustrate this explicitly for an existing optimization algorithm on bounded-rank matrices. To provably find stationary points, we modify a trust-region method on a standard smooth parameterization of the variety. The method relies on the known fact that second-order stationary points on the parameter space map to stationary points on the variety. Our geometric observations and proposed algorithm generalize beyond bounded-rank matrices. We give a geometric characterization of apocalypses on general constraint sets, which implies that Clarke-regular sets do not admit apocalypses. Such sets include smooth manifolds, manifolds with boundaries, and convex sets. Our trust-region method supports parameterization by any complete Riemannian manifold.

SPRINGER HEIDELBERG2022

Sans titre

Règles sur les dérivés : Notation, Extrema MATH-101(de): Analysis I (German)

Couvre les règles des dérivées, des notations O et des extrema dans le contexte du théorème 6.5 et des exemples.

Produits dérivés en continu

Couvre le concept de dérivés continus et leur application dans l'analyse des fonctions et la détermination des points critiques.