Grand icosidodécaèdre adouci inverséEn géométrie, le grand icosidodécaèdre adouci inversé est un polyèdre uniforme non convexe, indexé sous le nom U69. Les coordonnées cartésiennes des sommets d'un grand icosidodécaèdre adouci inversé centré à l'origine sont les permutations paires de (±2α, ±2, ±2β), (±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)), (±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)), (±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) et (±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)), avec un nombre pair de signes plus, où α = ξ−1/ξ et β = −ξ/τ+1/τ2−1/(ξτ), où τ = (1+√5)/2 est le nombre d'or (quelquefois écrit φ) et ξ est la plus grande solution réelle positive de ξ3−2ξ=−1/τ, ou approximativement 1,2224727.
Grand icosidodécaèdre rétroadouciEn géométrie, le grand icosidodécaèdre rétroadouci est un polyèdre uniforme non convexe, indexé sous le nom U74. Les coordonnées cartésiennes des sommets d'un grand icosidodécaèdre rétroadouci centré à l'origine sont les permutations paires de (±2α, ±2, ±2β), (±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)), (±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)), (±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) et (±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)), avec un nombre pair de signes plus, où α = ξ−1/ξ et β = −ξ/τ+1/τ2−1/(ξτ), où τ = (1+√5)/2 est le nombre d'or (quelquefois écrit φ) et ξ est la plus petite solution positive réelle de ξ3−2ξ=−1/τ, ou approximativement 0,3264046.
Polyèdre uniforme étoiléEn géométrie, un polyèdre uniforme non convexe, ou polyèdre étoilé uniforme, est un polyèdre uniforme auto-coupant. Il peut contenir soit des faces polygonales non convexes, des figures de sommet non convexes ou les deux. Dans l'ensemble complet des 53 polyèdres étoilés uniformes non prismatiques, il y a les 4 réguliers, appelés les solides de Kepler-Poinsot. Il existe aussi deux ensembles infinis de prismes étoilés uniformes et des antiprismes étoilés uniformes. Ici, nous voyons deux exemples de polyèdres
Dodécaèdre adouciLe dodécaèdre adouci ou icosidodécaèdre adouci est un solide d'Archimède. Le dodécaèdre possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres sont des triangles équilatéraux. Il possède aussi 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont les images dans un miroir (ou énantiomorphes) l'une de l'autre. Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.
Configuration de sommetEn géométrie, une configuration de sommet est une notation abrégée pour représenter la figure de sommet d'un polyèdre ou d'un pavage comme la séquence de faces autour d'un sommet. Pour les polyèdres uniformes, il n'y a qu'un seul type de sommet et, par conséquent, la configuration des sommets définit entièrement le polyèdre. (Les polyèdres chiraux existent dans des paires d'images miroir avec la même configuration de sommet). Une configuration de sommet est donnée sous la forme d'une suite de nombres représentant le nombre de côtés des faces faisant le tour du sommet.
Liste des polyèdres uniformesCette liste recense les polyèdres uniformes, ainsi que certaines de leurs propriétés. page connexe : Polyèdre régulier Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal (c'est-à-dire que pour tout couple de ses sommets, il existe une isométrie du polyèdre qui transforme l'un en l'autre).
