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Concept
Théorème de Witt
Résumé
En algèbre, le théorème de Witt est un résultat sur lequel s'appuie toute la théorie des formes quadratiques. Il permet en effet de classifier les formes quadratiques sur un corps K donné et fonde la définition du groupe de Witt de K. À proprement parler il existe plusieurs énoncés qui sont qualifiés de théorèmes de Witt : pour préciser, on les appelle théorèmes de décomposition, d'extension et d'annulation de Witt. Dans ce faisceau de résultats, obtenus par Ernst Witt en 1937, c'est le théorème d'annulation qui est le plus souvent appelé le théorème de Witt.
On considère un corps K de caractéristique différente de 2. Un espace quadratique (V,q) est un espace vectoriel sur K muni d'une forme quadratique. Les deux théorèmes fondamentaux de Witt s'énoncent
Pour énoncer le théorème de décomposition qui en résulte, on rappelle d'abord brièvement le vocabulaire des sous-espaces remarquables d'un espace quadratique (V,q). Le radical (ou noyau) de q est l'orthogonal de V. Un sous-espace est dit anisotrope si q ne s'y annule qu'en 0. En sens inverse, on considère le modèle le plus simple d'espace isotrope. Il s'agit du plan hyperbolique, c'est-à-dire un sous-espace de dimension 2 sur lequel la forme quadratique induite admet, dans une certaine base, une écriture de la forme (ou, dans une autre base ).
Une première étape couramment employée est de constater que tout supplémentaire du radical est en somme directe orthogonale avec lui. Dès lors, quitte à travailler en restriction à un tel supplémentaire, on peut se contenter d'étudier les formes quadratiques non dégénérées. Ceci explique quelques différences de formulation dans les énoncés des théorèmes, selon que les auteurs se placent ou non dans le cas de formes quadratiques non dégénérées. Dans ce cadre, le théorème d'annulation peut être démontré par récurrence sur la dimension de U, en faisant intervenir une transformation de Householder.
Le théorème d'extension peut être renforcé, en imposant que l'image d'un certain supplémentaire orthogonal de U soit un certain supplémentaire orthogonal de son image.
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