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Concept
Spirale logarithmique
Résumé
Une spirale logarithmique est une courbe dont l'équation polaire est de la forme :
où a et b sont des réels strictement positifs (b différent de 1) et la fonction exponentielle de base b.
Cette courbe étudiée au a suscité l'admiration de Jacques Bernoulli pour ses propriétés d'invariance. On la trouve dans la nature, par exemple dans la croissance de coquillages ou pour la disposition des graines de tournesol.
Le nom de spirale logarithmique lui est donné par Pierre Varignon. La spirale logarithmique porte aussi le nom de spirale équiangle, spirale de croissance.
La spirale logarithmique a été étudiée par Descartes et Torricelli qui en a cherché la longueur. Dès 1659, John Wallis sait que la longueur de la spirale est finie. Selon lui, la rectification de la spirale logarithmique et sa quadrature est réalisée par son compatriote Christopher Wren. Mais celui qui lui a consacré un ouvrage est Jacques Bernoulli (1691) qui la nomme spira mirabilis. Impressionné par ses propriétés d'invariance, il a demandé que soient gravées sur son tombeau à Bâle une spirale logarithmique ainsi que la maxime (). Le graveur, plus artiste que mathématicien, a hélas gravé une spirale d'Archimède.
On retrouve la spirale logarithmique dans la forme de certaines galaxies, dans le développement de certaines coquilles de mollusque et dans l'agencement de certaines fleurs. D'Arcy Thomson lui consacre un chapitre dans son traité, On Growth and Form (1917).
Fichier:Whirpool Galaxy.jpg|Galaxie en spirale logarithmique ([[M51 (galaxie)|M51]])
Fichier:Low pressure system over Iceland.jpg|[[Cyclone polaire]] au large de l'Islande
Fichier:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|Coupe sagittale d'une coquille de [[Nautilus (mollusque)|nautile]]
Fichier:Close up Helianthus annuus.jpg|Détail d'une fleur de [[tournesol]]
Fichier:Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|Un détail de l'[[ensemble de Mandelbrot]]
Une spirale logarithmique a une équation polaire de la forme :
Elle possède pour équation paramétrée :
La tangente à la courbe au point M fait avec la droite (OM) un angle constant α vérifiant la propriété suivante :
où ln b représente le logarithme népérien de b.
Source officielle
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