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Concept
Spirale de Fermat
Résumé
vignette|Les deux branches de la spirale de Fermat d'équation ρ2 = θ (noire pour ρ positif et rouge pour ρ négatif)
Une spirale de Fermat est une courbe plane d'équation polaire:
Son nom est une référence au mathématicien Pierre de Fermat qui la décrit dans une lettre à Marin Mersenne en 1636 et présente sa propriété d'aire balayée par un rayon. Cette courbe a aussi été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire .
La spirale de Fermat est une courbe transcendante qui possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O. Elle partage le plan en deux composantes connexes.
Pour tout point M de la courbe, on appelle T et N les points d'intersection de la tangente et la normale à la courbe en M avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM). Les longueurs OT et ON (sous-tangente et sous-normale) valent alors:
L'aire du triangle OMN est donc constante égale au quart du carré de côté a.
L'aire balayée par le rayon OM de M à M est donnée par la formule:
En particulier, si l'on prend pour θ la valeur 2kπ, la surface balayée par le rayon de M à M correspond à la moitié de l'aire du disque de rayon OM, les autres spires ont des aires identiques égales à l'aire du disque de rayon OM. C'est la propriété énoncée par Fermat en 1636.
Le rayon de courbure s'exprime par:
La courbe possède donc un seul point d'inflexion à l'origine.
Son abscisse curviligne est donnée par:
et la rectification de la courbe fait intervenir une intégrale elliptique de première espèce.
La spirale de Fermat est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, du lituus d'équation polaire .
Si on fait rouler la spirale de Fermat d'équation sur la courbe d'équation , son centre se déplace sur l'axe des abscisses. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704.
vignette|upright=1.5|center|Spirale de Fermat d'équation roulant sur la courbe et dont le centre reste sur l'axe des x.
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