Motif (géométrie algébrique)

La théorie des motifs est un domaine de recherche mathématique qui tente d'unifier les aspects combinatoires, topologiques et arithmétiques de la géométrie algébrique. Introduite au début des années 1960 et de manière conjecturale par Alexander Grothendieck afin de mettre au jour des propriétés supposées communes à différentes théories cohomologiques, elle se trouve au cœur de nombreux problèmes ouverts en mathématiques pures. En particulier, plusieurs propriétés des courbes elliptiques semblent motiviques par nature, comme la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. L'idée est de concevoir une théorie cohomologique, comme foncteur contravariant d'une catégorie (dont les éléments sont appelés motifs), universelle au sens que toute théorie cohomologique se factorise par elle. Conjectures de Weil Dans l'étude des variétés compactes de dimension paire, on introduit les groupes de cohomologie à coefficients dans Q, qui sont des objets bien connus : ce sont des Q-espaces vectoriels de dimension finie, il existe une dualité de Poincaré On peut en outre les définir de plusieurs manières équivalentes : en posant des cochaînes singulières, en passant par la cohomologie de Čech (ou de de Rham s'il s'agit d'une variété analytique complexe), en introduisant les foncteurs dérivés... ce qui donne la même construction tant que les axiomes d'Eilenberg-Steenrod sont vérifiés. Les travaux d'André Weil sur les variétés algébriques projectives l'amènent à formuler les conjectures qui portent son nom, et il devient clair qu'elles découleraient d'une théorie cohomologique « purement algébrique » ayant de bonnes propriétés. Seulement, il s'avère qu'aucune telle théorie cohomologique à coefficients dans Q n'est possible, et la recherche s'oriente donc en direction d'une théorie sur un corps de caractéristique zéro, différent de Q. Au début des années 1960, Grothendieck propose les cohomologies étale et cristalline et reconstitue la cohomologie de De Rham dans le cadre algébrique où il montre qu'elle possède de bonnes propriétés en caractéristique zéro.

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La conjecture de Hodge est une des grandes conjectures de la géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d'y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s'étendre à d'autres cas).

Une cohomologie motivique est une théorie cohomologique en mathématiques dont l'existence a été conjecturée pour la première fois par Alexandre Grothendieck dans les années 1960. À l'époque, on la concevait comme construite sur les bases des sur les cycles algébriques, en géométrie algébrique. Elle puise ses fondements en théorie des catégories, ce qui permet de déduire des conséquences à partir de ces conjectures. Grothendieck et Bombieri ont démontré la profondeur de cette approche en dérivant une des conjectures de Weil de cette façon.

In mathematics, the standard conjectures about algebraic cycles are several conjectures describing the relationship of algebraic cycles and Weil cohomology theories. One of the original applications of these conjectures, envisaged by Alexander Grothendieck, was to prove that his construction of pure motives gave an that is . Moreover, as he pointed out, the standard conjectures also imply the hardest part of the Weil conjectures, namely the "Riemann hypothesis" conjecture that remained open at the end of the 1960s and was proved later by Pierre Deligne; for details on the link between Weil and standard conjectures, see .

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