Concept
La théorie des motifs est un domaine de recherche mathématique qui tente d'unifier les aspects combinatoires, topologiques et arithmétiques de la géométrie algébrique. Introduite au début des années 1960 et de manière conjecturale par Alexander Grothendieck afin de mettre au jour des propriétés supposées communes à différentes théories cohomologiques, elle se trouve au cœur de nombreux problèmes ouverts en mathématiques pures. En particulier, plusieurs propriétés des courbes elliptiques semblent motiviques par nature, comme la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. L'idée est de concevoir une théorie cohomologique, comme foncteur contravariant d'une catégorie (dont les éléments sont appelés motifs), universelle au sens que toute théorie cohomologique se factorise par elle. Conjectures de Weil Dans l'étude des variétés compactes de dimension paire, on introduit les groupes de cohomologie à coefficients dans Q, qui sont des objets bien connus : ce sont des Q-espaces vectoriels de dimension finie, il existe une dualité de Poincaré On peut en outre les définir de plusieurs manières équivalentes : en posant des cochaînes singulières, en passant par la cohomologie de Čech (ou de de Rham s'il s'agit d'une variété analytique complexe), en introduisant les foncteurs dérivés... ce qui donne la même construction tant que les axiomes d'Eilenberg-Steenrod sont vérifiés. Les travaux d'André Weil sur les variétés algébriques projectives l'amènent à formuler les conjectures qui portent son nom, et il devient clair qu'elles découleraient d'une théorie cohomologique « purement algébrique » ayant de bonnes propriétés. Seulement, il s'avère qu'aucune telle théorie cohomologique à coefficients dans Q n'est possible, et la recherche s'oriente donc en direction d'une théorie sur un corps de caractéristique zéro, différent de Q. Au début des années 1960, Grothendieck propose les cohomologies étale et cristalline et reconstitue la cohomologie de De Rham dans le cadre algébrique où il montre qu'elle possède de bonnes propriétés en caractéristique zéro.