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Concept
Permutation
Résumé
En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation d'objets distincts rangés dans un certain ordre correspond à un changement de l'ordre de succession de ces objets.
La permutation est une des notions fondamentales en combinatoire, c'est-à-dire pour des problèmes de dénombrement et de probabilités discrètes. Elle sert ainsi à définir et à étudier le carré magique, le carré latin, le sudoku, ou le Rubik's Cube. Les permutations servent également à fonder la théorie des groupes, celle des déterminants, à définir la notion générale de symétrie, etc.
Une permutation d'un ensemble X est une bijection de X sur lui-même.
Notamment, une permutation de n éléments (où n est un entier naturel) est une bijection d'un ensemble fini de cardinal n sur lui-même.
Une permutation de l'alphabet de 26 lettres est un mot de 26 lettres contenant chaque lettre une fois et une seule ; et il est clair que cette définition reste valable pour n'importe quel alphabet de n lettres, avec des mots de longueur n.
Il y a beaucoup d'ordres différents (720) dans lesquels six cloches, de différentes notes, peuvent être sonnées les unes après les autres. Si les cloches sont numérotées de 1 à 6, alors chaque ordre possible peut être représenté par une liste de 6 nombres, sans répétition, par exemple (3, 2, 6, 5, 1, 4).
De la même façon, six livres posés sur un rayonnage et numérotés de 1 à 6, peuvent être permutés de différentes manières : rangement par ordre alphabétique, ordre alphabétique inverse, ordre de préférence, ou ordre choisi « au hasard ». Chacun de ces réarrangements peut être vu comme une bijection de l'ensemble des six livres, ou de façon identique, une bijection de l'ensemble {1, 2, ... ,6} sur lui-même. En effet, si l'ordre final des livres est 3, 2, 6, 5, 1, 4, on peut définir l'application f : « est remplacé par » ainsi :
1 est remplacé par 3 soit f(1) = 3 ;
2 est remplacé par 2 soit f(2) = 2 ;
3 est remplacé par 6 soit f(3) = 6 ;
4 est remplacé par 5 soit f(4) = 5 ;
5 est remplacé par 1 soit f(5) = 1 ;
6 est remplacé par 4 soit f(6) = 4.
Source officielle
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