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Concept
Mouvement dans un champ central symétrique
Résumé
L'étude du mouvement dans un champ central symétrique correspond à la généralisation en mécanique quantique du problème à deux corps de la mécanique classique. Ce dernier est un modèle théorique important, notamment en astronomie où il permet de comprendre le mouvement des planètes autour du Soleil (ou d'une autre étoile), ou encore celui des satellites artificiels, au moins en première approximation. Il s'agit d'étudier le mouvement relatif de deux corps (de positions notées M1 et M2) supposés ponctuels (faibles dimensions devant les distances qui les séparent), de masses m1 et m2, interagissant par l'intermédiaire d'une force conservative ne dépendant que de la distance r entre ces deux corps, et dirigée suivant la direction (M1M2), le système global étant considéré comme isolé.
Les principaux résultats obtenus sont alors les suivants:
Réduction à un problème à un corps : il est possible de séparer le mouvement du centre de masse, rectiligne et uniforme, de celui d'une particule dite fictive, de masse (masse réduite du système), qui se déplace dans le potentiel central V(r) dont dérive la force d'interaction entre les deux corps, dans le référentiel barycentrique. Les trajectoires réelles des deux corps dans ce référentiel sont homothétiques de celles de la particule fictive.
Planéité de la trajectoire : elle découle de la conservation du moment cinétique total du système, elle-même liée au caractère central du champ. On est alors ramené à un problème à deux degrés de liberté.
Équivalence à un problème unidimensionnel : la conservation de l'énergie mécanique combinée à celle du moment cinétique de la particule fictive permet de se ramener, en coordonnées cylindro-polaires (r,θ), à un problème unidimensionnel d'une particule fictive se déplaçant dans un potentiel effectif (L étant la valeur du moment cinétique), avec r>0.
En mécanique quantique, cette situation peut également être envisagée : un exemple important est celui de l'atome d'hydrogène. Il est possible montrer que chacun des résultats classiques précédents a son "pendant" quantique.
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