Covariant et contravariant (algèbre linéaire)

vignette|Exemple de coordonnées covariantes d'un vecteur (bleu) dans un repère non orthonormé. En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire. La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles. La manipulation de grandeurs covariantes et contravariantes est facilitée par la convention de sommation d'Einstein, qui sera largement utilisée dans cet article. Soit un espace vectoriel de dimension finie , ainsi que deux bases et telles que le changement de base de vers s'écrit: où les coefficients forment la matrice de passage. Soit alors une famille de fonctions, chacune de vers un espace vectoriel de même corps que . Les familles de vecteurs et sont alors notées respectivement et . L'indice est alors noté en bas et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit: L'indice est alors noté en haut et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit: Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs et , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue. En analyse vectorielle, il est possible de définir l'opérateur de dérivation directionnelle selon une direction ainsi: est parfois noté . Une conséquence de ce théorème est que les vecteurs de la base duale sont parfois notés . En géométrie différentielle, les espaces considérés, c'est-à-dire les variétés différentielles, n'ont pas de structure d'espace vectoriel et à ce titre les concepts de covariance et de contravariance ne sont pas directement applicables.