Closure operatorIn mathematics, a closure operator on a set S is a function from the power set of S to itself that satisfies the following conditions for all sets {| border="0" |- | | (cl is extensive), |- | | (cl is increasing), |- | | (cl is idempotent). |} Closure operators are determined by their closed sets, i.e., by the sets of the form cl(X), since the closure cl(X) of a set X is the smallest closed set containing X. Such families of "closed sets" are sometimes called closure systems or "Moore families".
Relation d'équivalenceEn mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .
Théorie des localesEn mathématiques, la théorie des locales (ou théorie des lieux, ou parfois topologie sans points, en anglais : pointless topology) est une approche de la topologie issue de la théorie des catégories et évitant de mentionner les points ; certains des « espaces » (appelés locales) étudiés par la théorie ne contiennent aucun point au sens usuel.
Greatest element and least elementIn mathematics, especially in order theory, the greatest element of a subset of a partially ordered set (poset) is an element of that is greater than every other element of . The term least element is defined dually, that is, it is an element of that is smaller than every other element of Let be a preordered set and let An element is said to be if and if it also satisfies: for all By switching the side of the relation that is on in the above definition, the definition of a least element of is obtained.
Duality (order theory)In the mathematical area of order theory, every partially ordered set P gives rise to a dual (or opposite) partially ordered set which is often denoted by Pop or Pd. This dual order Pop is defined to be the same set, but with the inverse order, i.e. x ≤ y holds in Pop if and only if y ≤ x holds in P. It is easy to see that this construction, which can be depicted by flipping the Hasse diagram for P upside down, will indeed yield a partially ordered set. In a broader sense, two partially ordered sets are also said to be duals if they are dually isomorphic, i.
Complete Heyting algebraIn mathematics, especially in order theory, a complete Heyting algebra is a Heyting algebra that is complete as a lattice. Complete Heyting algebras are the of three different ; the category CHey, the category Loc of locales, and its , the category Frm of frames. Although these three categories contain the same objects, they differ in their morphisms, and thus get distinct names. Only the morphisms of CHey are homomorphisms of complete Heyting algebras.
Relation binaireEn mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R sont dits en relation par R. Une relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles.
Théorie des domainesLa théorie des domaines est une branche des mathématiques dont le principal champ d'application se trouve en informatique théorique. Cette partie de la théorie des ensembles ordonnés a été introduite par Dana Scott pendant les années 1960, afin de fournir le cadre théorique nécessaire à la définition d'une sémantique dénotationnelle du lambda-calcul. Les domaines sont des ensembles partiellement ordonnés.
