L'application fer à cheval est un des exemples classiques de systèmes dynamiques. Elle fut introduite par Stephen Smale à l'occasion de l'étude de l'oscillateur de Van der Pol. Son comportement est chaotique alors qu'on l'obtient en effectuant une succession d'opérations géométriques très simples : rétrécissement dans une direction, étalement dans une autre, et repliement en forme de fer à cheval.
L'application fer à cheval est un difféomorphisme qui laisse stable la figure formée d'un carré avec deux demi-disques accolés. Certains des points du carré initial ont leur image rejetée à l'extérieur de ce carré, ils n'y retourneront alors jamais. Finalement peu de points restent définitivement dans le carré ; ils forment un ensemble fractal et appartiennent à l'espace invariant de l'application. Les points rejetés à l'extérieur convergent, eux, vers un point fixe, situé dans un des demi-disques.
Les propriétés essentielles de cette dynamique sont :
l'existence d'une infinité d'orbites périodiques ;
parmi elles, on peut en trouver ayant des périodes arbitrairement longues ;
le nombre de telles orbites augmente exponentiellement avec la période ;
au voisinage de tout point de l'espace invariant il existe un point périodique.
La transformation fer à cheval a quelques ressemblances avec la transformation du boulanger, et de fait ces deux transformations sont topologiquement équivalentes. Cependant l'application fer à cheval est plus compliquée à décrire, car elle constitue un difféomorphisme et laisse une certaine région S du plan invariante (S étant formée du carré avec ses demi-disques).
On définit f par composition, en appliquant d'abord une affinité orthogonale de rapport selon l'axe vertical aux points du carré, tandis que les demi-disques subissent une homothétie pour garder leur forme de disque. Il est important que le facteur a soit strictement inférieur à 1/2 pour assurer une marge entre les deux branches du fer à cheval dans la dernière étape. On applique ensuite au rectangle une affinité orthogonale dans l'autre direction, et de rapport , sans changer les demi-disques.
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L'application fer à cheval est un des exemples classiques de systèmes dynamiques. Elle fut introduite par Stephen Smale à l'occasion de l'étude de l'oscillateur de Van der Pol. Son comportement est chaotique alors qu'on l'obtient en effectuant une succession d'opérations géométriques très simples : rétrécissement dans une direction, étalement dans une autre, et repliement en forme de fer à cheval. L'application fer à cheval est un difféomorphisme qui laisse stable la figure formée d'un carré avec deux demi-disques accolés.
Les variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer. Soit une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte de dimension . Considérons une métrique riemannienne sur . Le champ de gradient de est défini par Un point critique est dit non dégénéré lorsque la hessienne est une forme blinéaire non dégénérée sur .
In mathematics, mixing is an abstract concept originating from physics: the attempt to describe the irreversible thermodynamic process of mixing in the everyday world: e.g. mixing paint, mixing drinks, industrial mixing. The concept appears in ergodic theory—the study of stochastic processes and measure-preserving dynamical systems. Several different definitions for mixing exist, including strong mixing, weak mixing and topological mixing, with the last not requiring a measure to be defined.
The course provides students with the tools to approach the study of nonlinear systems and chaotic dynamics. Emphasis is given to concrete examples and numerical applications are carried out during th