Fer à cheval de Smale

L'application fer à cheval est un des exemples classiques de systèmes dynamiques. Elle fut introduite par Stephen Smale à l'occasion de l'étude de l'oscillateur de Van der Pol. Son comportement est chaotique alors qu'on l'obtient en effectuant une succession d'opérations géométriques très simples : rétrécissement dans une direction, étalement dans une autre, et repliement en forme de fer à cheval. L'application fer à cheval est un difféomorphisme qui laisse stable la figure formée d'un carré avec deux demi-disques accolés. Certains des points du carré initial ont leur image rejetée à l'extérieur de ce carré, ils n'y retourneront alors jamais. Finalement peu de points restent définitivement dans le carré ; ils forment un ensemble fractal et appartiennent à l'espace invariant de l'application. Les points rejetés à l'extérieur convergent, eux, vers un point fixe, situé dans un des demi-disques. Les propriétés essentielles de cette dynamique sont : l'existence d'une infinité d'orbites périodiques ; parmi elles, on peut en trouver ayant des périodes arbitrairement longues ; le nombre de telles orbites augmente exponentiellement avec la période ; au voisinage de tout point de l'espace invariant il existe un point périodique. La transformation fer à cheval a quelques ressemblances avec la transformation du boulanger, et de fait ces deux transformations sont topologiquement équivalentes. Cependant l'application fer à cheval est plus compliquée à décrire, car elle constitue un difféomorphisme et laisse une certaine région S du plan invariante (S étant formée du carré avec ses demi-disques). On définit f par composition, en appliquant d'abord une affinité orthogonale de rapport selon l'axe vertical aux points du carré, tandis que les demi-disques subissent une homothétie pour garder leur forme de disque. Il est important que le facteur a soit strictement inférieur à 1/2 pour assurer une marge entre les deux branches du fer à cheval dans la dernière étape. On applique ensuite au rectangle une affinité orthogonale dans l'autre direction, et de rapport , sans changer les demi-disques.